Newton Cotes Formel

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29.08.2005, 20:37	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Cotes Formel Ich habe Newton Cotes so verstanden: Um eine beliebige Funktion f(x) im Intervall [a,b] numerisch zu integrieren, kann man f(x) durch ein Interpolationspolynom $\begin{eqnarray} p_f(x) \end{eqnarray}$ annähern. Dieses Polynom lässt sich dann einfach integrieren. Damit wird das gesuchte Integral: $\begin{eqnarray} I=\int_a^b f(x)dx = \int_a^b p_f(x)dx \end{eqnarray}$ Wählt man zur Darstellung von $\begin{eqnarray} p_f(x) \end{eqnarray}$ die Lagrange-Polynome, so erhält man: $\begin{eqnarray} I(f) = \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b L_i(x) \, dx \end{eqnarray}$ Ich habe nun eine Funktion $\begin{eqnarray} int_0^1\sin^2(\pi x) \end{eqnarray}$ die man mit N=4 per Newton Cotes integrieren. Mein Ansatz: Die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ bestimmen. $\begin{eqnarray} x_i=a+\frac{i}{N}b\Rightarrow x_0=0,x_1=0,25,x_2=0,5,x_3=0,75,x_4=1 \end{eqnarray}$ Nun muss man die $\begin{eqnarray} L_i(x) \end{eqnarray}$ bestimmen: $\begin{eqnarray} \int_0^1 L_0(x) \, dx=\int_0^1(\frac{x-0,25}{-0,25}\frac{x-0,5}{-0,25}\frac{x-0,75}{-0,25}\frac{x-1}{-0,25})=\int_0^1 265(x-1)(x-0.75)(x-0.5)(x-0.25)=1.866 \end{eqnarray}$ Was mir einfach schon zu gross aussieht?!
29.08.2005, 23:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Cotes Formel Dein Lagrangepolynom in der letzten Zeile ist falsch, und zwar im Nenner.
30.08.2005, 13:28	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
und ansonsten stimmt es? Weil der hat irgendwie angefangen das integral auf einmal auch von 0-4 zu berechnen! Warum ist es im Nenner falsch? Eigentlich ist dass doch so nach Definition?!
30.08.2005, 14:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es nicht - es sei denn, bei dir sind Lagrange-Polynome etwas anderes als folgende: $\begin{eqnarray} L_k(x)=\prod\limits_{\substack{i=0\\ i\neq k}}^n~\frac{x-x_i}{x_k-x_i} \end{eqnarray}$ Und bei dir ist $\begin{eqnarray} n=4,x_0=0,x_1=\frac{1}{4},x_2=\frac{1}{2},x_3=\frac{3}{4},x_4=1 \end{eqnarray}$ . Na dann setz mal $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ ein, wenn du $\begin{eqnarray} L_0(x) \end{eqnarray}$ berechnen willst...
31.08.2005, 14:30	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
ja eben: $\begin{eqnarray} L_0(x)=\frac{x-0,25}{0-0,25}\cdot \frac{x-0,5}{0-0,5}\cdot \frac{x-0,75}{0-0,75}\cdot \frac{x-1}{0-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_1(x)=\frac{x-0}{0,25-0}\cdot \frac{x-0,5}{0,25-0,5}\cdot \frac{x-0,75}{0,25-0,75}\cdot \frac{x-1}{0,25-1} \end{eqnarray}$ ... Sehe da eignetlich keinen Fehler?
31.08.2005, 14:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt nicht mehr - aber oben hattest du ja auch was anderes geschrieben, nicht wahr?
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31.08.2005, 17:05	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
protector hat bei seinem ersten Versuch das x_i im Nenner einfach festgehalten. Aber das ist ein typisches Bild für numerische Integration.Am Ende hat man es viel aufwendiger als am Anfang.
31.08.2005, 17:10	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur ich sehe zwischen oben und unten keinen Unterschied, das eine ist einfach nur schon zusammengerechnet?. Ist den der rest richtig?
31.08.2005, 17:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du siehst keinen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \frac{x-0,25}{-0,25}\cdot \frac{x-0,5}{-0,25}\cdot \frac{x-0,75}{-0,25}\cdot \frac{x-1}{-0,25} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x-0,25}{0-0,25}\cdot \frac{x-0,5}{0-0,5}\cdot \frac{x-0,75}{0-0,75}\cdot \frac{x-1}{0-1} \end{eqnarray}$ ??? Ich schon, und andere sicher auch.
03.09.2005, 14:00	Gammafunktion	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist das jetzt ja ne dumme Frage, ....aber warum nimmt man für die Interpolation eigentlich Lagrange-Polynome?? Mithilfe des Newton-polynoms und des Neuville-Tableus geht das doch wesentlich schneller, oder nicht??
04.09.2005, 22:38	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, weil ich nicht weiß wie es geht? Ich muss es halt nach Newton Cotes machen, meines wissens geht das nur mit Lagrange?

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