n.te Einheitswurzeln

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21.02.2008, 11:58	eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
n.te Einheitswurzeln Hallo, wie komme ich von der Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^n = 1 \end{eqnarray}$ darauf, dass die Lösungen durch die n.ten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} \lambda_j = e^{2 \pi i j/ n } \end{eqnarray}$ gegeben sind? VG
21.02.2008, 12:00	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach nachrechnen
21.02.2008, 12:21	eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich wüsste wie hätte ich ja nicht gefragt $\begin{eqnarray} \lambda = 1^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ ?? und nun?
21.02.2008, 12:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich therisen gerade nicht sehe. *************************** Du suchst die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} p_n(x) = x^n-1 \end{eqnarray}$ Du solltest wissen, dass es über den komplexen Zahlen n-Nullstellen hat. Über den Reellen hat es in Abhängigkeit von n eine oder 2. Wir bleiben aber im Komplexen. Wie multipliziert man denn da Zahlen, anschaulich? Nimm die Polarkoordinat en.
21.02.2008, 12:51	Eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, so würde ich sagen : $\begin{eqnarray} r \dot(cos(x) + i \quad sin(x)) \cdot s(cos(y) + i \quad sin(y)) = r \cdot s (cos(x+y) + i \quad sin(x+y)) \end{eqnarray}$ , anschaulich ist das dann eine Drehung ?
21.02.2008, 13:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein sogar eher eine Drehstreckung(/Stauchung). In unserem Spezialfall bleibt der Radius immer 1. Ist Dir dann geometrisch klar, wie du auf die Lösungen kommst? (Tipp: http://de.wikipedia.org/wiki/Polygon#Reg....9Fige_Polygone)
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21.02.2008, 18:12	Eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
neh, wirklich klar nicht. Wie komm ich von den Nullstellen des Polynoms über die Multiplikation komplexer Zahlen zu Polygonen? Sorry, für mich sind das grad nur Bruchstücke... und wie ich dir Lösung einfach nachrechnen kann wie Therisen schrieb weiß ich damit auch noch nicht... Wär super wenn du mir da noch auf die Sprünge helfen könntest...?
21.02.2008, 19:34	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, $\begin{eqnarray} \lambda_j^n=\left[\exp\left(\frac{2\pi i j}n\right)\right]^n=\exp(2\pi i j)=\cos(2\pi j)+i\sin(2\pi j)=1+i\cdot 0=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j=1,\dots, n \end{eqnarray}$ . Das sind alle Nullstellen, da ein Polynom n-ten Grades genau n komplexe Nullstellen hat. Die geometrischen Eigenschaften kann man mit Hilfe des Absolutbetrages nachrechnen (Abstandsfunktion).
21.02.2008, 23:40	eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, faszinierend. cool, danke so kann ich das nachvollziehen, nur wär ich da niemals draufgekommen... Wie kommt man zu dem ersten Schritt mit der exp-fkt? oder fängt man an die 1 so gekünstelt zu schreiben?
22.02.2008, 19:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Exponentialfunktion war ja die Behauptung. therisen hat einfach die Behaupteten Lösungen genommen und die n-te Potenz davon ausgerechnet.
22.02.2008, 20:41	eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
achso... und wie käme man auf die Lösung der Gleichung, wenn man das noch nicht gegeben hätte?
22.02.2008, 20:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem man sich daran erinnert, dass man eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auch so darstellen kann: $\begin{eqnarray} z=\|z\|\cdot\exp(i\varphi) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ gilt dann ja schliesslich $\begin{eqnarray} z^n=\|z\|^n\cdot\exp(n\cdot i\cdot\varphi) \end{eqnarray}$ Dann folgt das was therisen hingeschrieben hat.
22.02.2008, 21:02	eulerine	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal, aber ich seh noch nciht wie man dann zu Therisen kommt - wo kommt dann das \pi her ? und was passiert mit \|z\|^n ?
22.02.2008, 21:07	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn $\begin{eqnarray} z^n=1 \end{eqnarray}$ sein soll, dann muss $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ sein, denn $\begin{eqnarray} \|\exp(i\cdot\varphi)\|=1 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} \varphi\in\mathbb R \end{eqnarray}$ .

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