Fläche einer Lemniskate in kartesischen Koordinaten

21.02.2008, 15:06

steinitz

Fläche einer Lemniskate in kartesischen Koordinaten

Wie berechnet man die Fläche einer Lemniskate in kartesischen Koordinaten und nicht als zweidimensionales Integral?

Es ist scheinbar ein elliptische Integral, das sich nur näherungsweise bestimmen läßt.
Geht es wirklich nur über die "quick formula" oder Polarkoordinaten?

21.02.2008, 21:00

Mathespezialschüler

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Löse

$\begin{eqnarray*} \left(x^2+y^2\right)^2-2a^2\cdot \left(x^2-y^2\right)=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf. Dann erhältst du das "rechte obere Viertel" der Lemniskate, welches dann durch eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschrieben ist. Über den Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierst du ebendiese Funktion und multiplizierst mit $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Dann sollte der gesuchte Flächeninhalt rauskommen, falls man denn mit dem Integral klar kommt.

22.02.2008, 12:15

steinitz

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Die Angabe lautet:
die Fläche für y^2 = x^2 -x^4 ist zu berechnen. Grenzen fehlen.

Durch Faktorisierung erhalte ich: x = 0 und x = 1.
Dann u = x^2 -x^4, einfache Substitution.
Im Ergebnis erhalte ich dann aber eine Wurzel (-2).

Deswegen bin ich auf die Idee mit der Lemniskate gekommen.

22.02.2008, 13:33

steinitz

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So geht es...
$\begin{eqnarray*} A = 4*x*\int_{0}^{1}~\sqrt{1-x^{2}} ~dx\\A = 4/3\int_{0}^{1}~3*x\sqrt{1-x^{2}} ~dx\\A = 4/3*[-(1-x^{2})^{3/2}]_{0}^1\\A = 4/3. \end{eqnarray*}$

P.S: Jetzt noch linksbündig...

22.02.2008, 13:42

bishop

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das BR kommt daher, dass du einen Zeilenumbruch im Tex durch drücken von Return erzwingen wolltest Probiers stattdessen mal mit \\

22.02.2008, 20:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von steinitz
Die Angabe lautet:
die Fläche für y^2 = x^2 -x^4 ist zu berechnen. Grenzen fehlen.

Und warum sagst du das nicht gleich? Dann muss ich mir nicht die Mühe machen, den allgemeinen Fall durchzurechnen, obwohl dein Spezialfall so einfach ist. Zumal das ja nicht mal ein Spezialfall ist. Ich sehe hier keine Form der Lemniskate!
Deine erste Zeile ist übrigens falsch. Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat vor dem Integral nichts zu suchen.
Linksbündig bekommst du hin, indem du vor jede Zeile ein "&" setzt.

23.02.2008, 13:41

steinitz

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Pardon, wollte Dich nicht ärgern.
Ich war auf dem Holzweg, weil ich falsch integriert habe, daher die Vermutung mit der Lemniskate.

In Schaum´s Calculus ist das mit der "Quick Formula I " gelöst. Preuß/Wenisch führt diese Formel unkommentiert aus.
Auf die Lemniskate bin ich wegen dem Graph gekommen.

Es war trotzdem lehrreich und Dein Beitrag war erhellend, weil ich mich mit dem Stoff befasst habe. Es ist nicht umsonst gewesen.

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