Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation - zeigen? |
| 21.02.2008, 15:45 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation - zeigen? ich verwende statt kongruenz das Gleichheitszeichen. ich will mal übungshalber zeigen, dass a kongr. b mod m eine Äquivalenzrelation ist. Also zeige ich, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Erste beide Eigenschaften sind meine ich kein Problem, wenn man etwas umstellt und sieht, dass die Differenzen aus a und b geteilt durch das Modul eine ganze Zahl <> 0 mal irgendeinen Faktor f ergeben muss. Bei Reflexivität ist die Gleichung immer für f=0 erfüllt. Bezüglich der Symmetrie sieht man, dass beim symmetrischen Gegenstück f=-f die Gleichung ebenfalls immer erfüllt. Aber transitiv. Wie gehe ich das an? a = b mod m UND b = c mod m => a = c mod m. Da haben wir ja schon mal zwei Faktoren, also f1, f2 mit: a-b=f1*m und b-c=f2*m Und hier komme ich nicht weiter, wer hat einen Ansatz? |
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| 21.02.2008, 16:04 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 21.02.2008, 16:21 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf diese Einsetzung wäre ich nicht gekommen. Ist es dann so einfach, dass ich es gar nicht glauben kann? Also: Seien also f1, f2 elem. Z. Wir haben also a-b = f1*m und b-c = f2*m Zu zeigen ist, dass a-c=f3*m. Umgeformt: a-b+b-c = f1*m + f2*m = (f1+f2)*m Hier könnte man dann feststellen, dass wenn f1, f2 in Z dann ist auch deren Summe in Z. Danke |
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| 21.02.2008, 16:54 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es ist trivial. |
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