Kurvenintegral

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21.02.2008, 16:28	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral Hallo, gegeben ist folgendes Kurvenintegral: $\begin{eqnarray} \oint_{\|z\|=\frac{1}{2}}{\frac{e^z}{(1-z)z^3}}dz \end{eqnarray}$ Zunächst habe ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-z)z^3} \end{eqnarray}$ in Partialbrüche zerlegt. Also sieht das Ganze so aus: $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{1-z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}\right)e^z \end{eqnarray}$ Kann ich darauf jetzt die Cauchy'sche Integralformel anwenden, oder bin ich mit dem Ansatz total auf dem falschen Dampfer? Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte. Gruß Natalie
21.02.2008, 19:09	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Methode geht schon, aber ich hab eine andere. Wie wärs wenn du das anders umschreibst: $\begin{eqnarray} \frac{e^z}{(z-1)z^3}=\frac{e^z\cdot(z-1)^{-1}}{z^3} \end{eqnarray}$ denn die Nullstelle von $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ liegt nicht im interessanten Bereich. Nun erinnere dich an die "Ableitungsversion" der Cauchyschen Integralformel.
21.02.2008, 19:42	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für den Tipp. Habe das mal so gerechnet, wie du es vorgeschlagen hast. Jedoch komme ich nicht aufs richtige Ergebnis. Ich habe $\begin{eqnarray} f(z)=e^z(z-1)^{-1} \end{eqnarray}$ gesetzt und die zweite Ableitung berechnet: $\begin{eqnarray} f''(z)=\frac{e^z(z^2-4z+5)}{(z-1)^3} \end{eqnarray}$ Dann setze ich in die Formel ein mit $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{2\pi i}{2!}f''(z_0)=-5 \pi i \end{eqnarray}$ Das Ergebnis soll aber $\begin{eqnarray} 5 \pi i \end{eqnarray}$ sein. Dann habe ich noch eine Frage zu dem Vorgehen mit den Partialbrüchen. Du sagst, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ nicht im interessanten Bereich liegt. Wie gehe ich da dann vor, wenn ich dennoch die Chauchy-Integralformel benutzen will? Lasse ich den Term dann einfach weg? EDIT: Hab den Fehler gefunden. Der Term lautet $\begin{eqnarray} (1-z) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} (z-1) \end{eqnarray}$ . Damit komme ich dann auf $\begin{eqnarray} 5 \pi i \end{eqnarray}$ . Die Frage mit den Partialbrüchen und der Cauchy-Integralformel bleibt aber trotzdem bestehen. Gruß Natalie
21.02.2008, 21:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem interessanten Bereich meine ich, dass du einen Weg um die Null hast, der ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} 0.5 \end{eqnarray}$ ist. Die Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ ist aber in $\begin{eqnarray} G=\{z\in\mathbb C\quad\|\quad\|z\|\leq0.5\} \end{eqnarray}$ holomorph. Anders gesagt du läufst nicht um eine Nennernullstelle herum, nur für die Funktion $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{1}{z^3} \end{eqnarray}$ tust du das. In einem Sterngebiet (also zum Beispiel das Gebiet dass durch deinen Integrationskreis berandet wird) ist das Integral über einen geschlossenen Weg von einer holomorphen Funktion stets Null. Übertragen auf deine Partialbruchzerlegung bekommst ja dann $\begin{eqnarray} \int\limits_{\|z\|=\frac{1}{2}}\frac{\text{Konstante}}{z-1}\dd z \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} 1\notin G \end{eqnarray}$ , das heisst das Integral verschwindet.
21.02.2008, 21:21	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für deine Mühe, aber so ganz hab ich das noch nicht verstanden. Bedeutet das jetzt, dass ich nur auf $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}\right)e^z \end{eqnarray}$ die Integralformel anwende. Dann würde aber $\begin{eqnarray} 6 \pi i \end{eqnarray}$ als Lösung rauskommen und das stimmt ja nicht. Gruß Natalie
21.02.2008, 21:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher? Wie wendest du denn die Integralformel korrekt bei $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{e^z}{z^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{e^z}{z^3} \end{eqnarray}$ an? Denke an die Ableitungsversion...
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21.02.2008, 21:59	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich komm nicht drauf. Ich würde das so schreiben $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{e^z}{z^2}=\frac{e^z\cdot z^{-1}}{z} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich jetzt den Zähler ableite und dann für z=0 einsetze, geht der Ausdruck gegen unendlich. Das kann ja auch nicht sein. Gruß Natalie
22.02.2008, 18:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Cauchy'sche Integralformel lautet ja so: $\begin{eqnarray} f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi\cdot i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\dd \zeta \end{eqnarray}$ Hier heisst das konkret, dass $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ . Du darfst hier $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ nicht einfach vom Nenner in den Zähler machen wie ich das zuvor mit dem $\begin{eqnarray} (1-z) \end{eqnarray}$ gemacht habe, denn du läufst ja um die Null herum, also um eine Nennernullstelle herum.
22.02.2008, 18:41	lonesome-dreamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt hab ich's Gruß Natalie

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