Kurvendiskussion ln(x² + t)

21.02.2008, 18:24

mathehilfesuchende

Kurvendiskussion ln(x² + t)

Hallo

Ich muss zu morgen unbedingt eine Kurvendiskussion für ln(x² + t) haben.

Kann mir jemand helfen?
Nullstellen.
Extremstellen.
Wendepunkte.
Grenzwerte.
Stammfunktion.

Ich weiß, es ist eine Menge. Aber es würde mir schon reichen, wenn ihr mir bei einem Teil hilft bzw erklärt wie es geht. Das wäre superlieb smile

Ich komme nämlich nicht so klar damit.

21.02.2008, 18:25

tmo

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sind irgenwelche einschränkungen für t gemacht?

ein paar eigene ideen musst du schon einbringen. wie bestimmt man denn im allgemeinen die nullstellen von funktionen?

21.02.2008, 18:29

mathehilfesuchende

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Nein. Es gibt keine Einschränkungen soweit ich weiß. Ich war jetzt für eine extrem längere Zeit von der Schule fern und erfahre gerade, dass ich morgen bei meiner Rückkehr einen Test darüber schreiben werde.

Wir hatten, als ich weg ging, schon damit angefangen. Ln-Fkt sind aber so gut wie Neuland für mich.

Eigentlich kann ich Kurvendiskussionen, aber die hats in sich. Ich komme vor allem bei den Ableitungen nicht klar. Und ohne die geht kaum was hier.

t ist wie gesagt nicht wirklich eingeschränkt. Kann sein, dass es nicht Null ist. Weiß jetzt aber nicht, wie es im Verlauf der Rechnung ergibt.

21.02.2008, 18:31

tmo

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dann kümmern wir uns doch erstmal mal um definitionsbereich und nullstellen.

ich habe dir oben dazu schon eine frage gestellt. beantworte diese mal.

21.02.2008, 18:36

mathehilfesuchende

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Doch mit Null gleichsetzen?

ahhh... vielleicht?
0 = ln (x^2 + t)
e^0 = e^(x^2+t)
1 = x^2 + t
x=\sqrt{1-t}

21.02.2008, 18:37

tmo

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das sieht doch schonmal gut aus.

beachte nun, dass es noch eine zweite lösung gibt. desweiteren musst du jetzt noch eine fallunterscheidung für t machen. denn was darf nicht passieren?

21.02.2008, 18:40

mathehilfesuchende

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wenn t < 1, dann haben wir unter der Wurzel einen negativen Wert. Das geht natürlich nicht. Ganz böse. unglücklich

wie schreibe ich das korrekt auf?

und jetzt das problem: wie leite ich diese nette komische ln-Fkt ab?

21.02.2008, 18:42

tmo

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Zitat:

Original von mathehilfesuchende
wenn t < 1, dann haben wir unter der Wurzel einen negativen Wert. Das geht natürlich nicht. Ganz böse. unglücklich

meinst du wirklich t < 1 ? dann setze mal t = 0 und danach t = 2. fällt was auf?

21.02.2008, 18:45

mathehilfesuchende

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genau anders rum. zeichen vertauscht Big Laugh

t > 1 dann geht nix mehr
nur t < 1 ist möglich, herr lehrer smile

fahre fort, herr lehrer

21.02.2008, 18:48

tmo

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zum ableiten brauchst du nur die kettenregel.

kennst du denn die ableitung von $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2008, 18:52

mathehilfesuchende

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Also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das habe ich gerade im Inet entdeckt.

Kettenregel habe ich jetzt mal nachgeschlagen. Die besagt irgendetwas von innere mal äußere Ableitung. Ich weiß nicht, was genau damit gemeint ist. Ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x² + t} * 2x \end{eqnarray*}$

21.02.2008, 18:53

tmo

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und das ist richtig Freude

wie berechnest du damit jetzt die extremstellen?

21.02.2008, 19:00

mathehilfesuchende

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hey. das bringt spaß... Big Laugh

machen wir jetzt die ganze diskussion durch?^_^

Also ich muss es doch mit Null gleichstellen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x² + 1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Xe= 0 \end{eqnarray*}$

da habe ich jetzt ein großes Fragezeichnen, ob das stimmt. Durfte ich denn überhaupt das (x² + 1) rausmultiplizieren?

Wenn das stimmen sollte, muss ich das xe in die zweite Ableitung einsetzen. Wie gehe ich an diese ran, wie bestimme ich diese?

21.02.2008, 19:04

tmo

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warum betrachtest du jetzt den spezialfall t=1 ?

aber sonst ist das richtig. da $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ eingeschränkt wurde, ist 0 tatsächlich die nullstelle der ableitung, da der nenner dort nicht 0 wird.

die 2. ableitung bestimmst du mit der quotientenregel.

21.02.2008, 19:10

mathehilfesuchende

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das mit der 1 warn fehler.

in der formelsammlung steht die quotientenregel drin.

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x²+2t-4x²}{(x²+t)²} \end{eqnarray*}$

Ich setze 0 ein und erhalte 2/t.

für alle t positiv TP
t negativ HP

aber wie krieg ich den y-wert, wenn ich

ln (4/t² + t) habe?

21.02.2008, 19:13

tmo

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den y-wert bekommst du indem du 0 in die ausgangsfunktion einsetzt. hier folgt dann eine weitere fallunterscheidung für t.

21.02.2008, 19:19

mathehilfesuchende

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Ich habe die Ausgangsfunktion ln (x² + t)
Wenn ich null einsetze, erhalte ich ln (0 + t)

Ich kann nicht auflösen in ln (0) + ln (t), weil es ln (0) nicht gibt.

t muss positiv sein.

Aber dann weiß ich immer noch nicht, was der y-wert ist. Kannst mir sagen, wie er lautet?

Und danke für die ganze Hilfe, falls ich das noch nicht gesagt haben sollte smile

21.02.2008, 19:22

tmo

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$\begin{eqnarray*} \ln (0+t) = \ln t \end{eqnarray*}$ verwirrt

21.02.2008, 19:27

mathehillfesuchende

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Jaja... kapiert. Big Laugh

Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x²+2t}{(x²+t)²} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -2x² + 2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = \pm \sqrt{t} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt diese dritte Ableitung. Quotientenregel... das wird eine RIESIGE Gleichung, oder nicht?

21.02.2008, 19:32

tmo

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ja deswegen verzichten wir auf die dritte ableitung und benutzen das vorzeichenwechselkriterium.

es ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2x^2+2t}{(x^2+t)^2}= \frac{-2}{(x^2+t)^2} \cdot (x^2-t) \end{eqnarray*}$
der erste faktor hat immer dasselbe vorzeichen.

also musst du nur noch überprüfen, ob der term $\begin{eqnarray*} x^2-t \end{eqnarray*}$ bei den beiden nullstellen jeweils ein vorzeichenwechsel hat.

21.02.2008, 19:39

mathehilfesuchende

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das höre ich zum ersten Mal, sorry. wie mache ich das?

und eine 2te frage hinzu: Wie lautet die Stammfunktion zu ln (x)? und wie gehe ich dann bei so einer komplizierten, für mich komplizierten, Funktion von ln (x² + t) vor?

21.02.2008, 19:59

tmo

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Zitat:

Original von mathehilfesuchende
das höre ich zum ersten Mal, sorry. wie mache ich das?

z.b. $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-t \end{eqnarray*}$ als neue funktion definieren und dann gucken ob die ableitung an den nullstellen auch 0 wird oder nicht.

Zitat:

Original von mathehilfesuchende
und eine 2te frage hinzu: Wie lautet die Stammfunktion zu ln (x)? und wie gehe ich dann bei so einer komplizierten, für mich komplizierten, Funktion von ln (x² + t) vor?

kennst du schon partielle integration?

21.02.2008, 20:19

mathehilfesuchende

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Zitat:

Original von tmo
z.b. $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-t \end{eqnarray*}$ als neue funktion definieren und dann gucken ob die ableitung an den nullstellen auch 0 wird oder nicht.

"Ableitung an den Nullstellen"

Heißt das, ich solle die Nullstellen der Funktion ln (x² + t) in "g' (x) = 2x" einsetzen? Die

Folglich:
$\begin{eqnarray*} 2 * \sqrt{1-t} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 * -\sqrt{1-t} = 0 \end{eqnarray*}$

Das sieht nicht richtig aus.

Partielle Integration habe ich gerade nachgelesen.
v' = (x² + t)
u = ln (x)
u' = 1/x
v = 1/3 x³ + tx

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ln (x² + t) = \frac{1}{3} x³ * ln (x) - \int_{b}^{a}~\frac{1}{3} x³ * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

21.02.2008, 20:21

tmo

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es geht um die nullstellen der 2ten ableitung, also $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{t} \end{eqnarray*}$

und zu der partiellen integration: das ist falsch. sollt ihr denn wirklich eine stammfunktion bestimmen? das ist nämlich nicht gerade einfach.

21.02.2008, 20:31

mathehilfebrauchende

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$\begin{eqnarray*} 2* \pm \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ ergibt nur dann keine Null, wenn t nicht Null ist. aber das ist ja vorgegeben mit Sicherheit und somit herrscht an der Stelle ein Wendepunkt.

Ich setze es ein:
$\begin{eqnarray*} ln ((\sqrt{t})² - t). \end{eqnarray*}$ Daraus folgt für die positive als negative Wurzel ln (0)...... häh?

Ja, wir sollten es integrieren. Ich bin, muss leider gestehen, im Mathe-LK.

Aber geht eventuell Substitution bei der Integration, sodass man x² + t erstmal als z deklariert?

21.02.2008, 20:33

Airblader

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Sorry, wenn ich einhake, aber ich möchte etwas vom Anfang richtigstellen:

Zitat:

Original von mathehilfesuchende
Doch mit Null gleichsetzen?

ahhh... vielleicht?
0 = ln (x^2 + t)
e^0 = e^(x^2+t)
1 = x^2 + t
x=\sqrt{1-t}

Das rot/fett-markierte stimmt natürlich nicht. Es war zwar das richtige gemeint, diese Zeile ist aber falsch Augenzwinkern

air

21.02.2008, 20:36

tmo

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Zitat:

Original von mathehilfebrauchende

Ich setze es ein:
$\begin{eqnarray*} ln ((\sqrt{t})² - t). \end{eqnarray*}$ Daraus folgt für die positive als negative Wurzel ln (0)...... häh?
es hieß doch $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln (x^2+t) \end{eqnarray*}$

[quote]Original von mathehilfebrauchende
Ja, wir sollten es integrieren. Ich bin, muss leider gestehen, im Mathe-LK.

Aber geht eventuell Substitution bei der Integration, sodass man x² + t erstmal als z deklariert?

mit substitution kommst du zunächst nicht weit. zuerst musst die einmal partielle integration anwenden. danach folgt dann noch eine substitution (und eine fallunterscheidung für t, weswegen ich immer mehr das gefühl kriege, dass t > 0 vorgegeben war verwirrt

), aber das sehen wir dann.

zur partiellen integration: wähle $\begin{eqnarray*} u = \ln (x^2+t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$ .

@Airblader: danke für den hinweis. ist mir gar nicht aufgefallen Augenzwinkern

21.02.2008, 20:55

mathehilfesuchende

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Zitat:

Original von Airblader
Sorry, wenn ich einhake, aber ich möchte etwas vom Anfang richtigstellen:

Zitat:

Original von mathehilfesuchende
Doch mit Null gleichsetzen?

ahhh... vielleicht?
0 = ln (x^2 + t)
e^0 = e^(x^2+t)
1 = x^2 + t
x=\sqrt{1-t}

Das rot/fett-markierte stimmt natürlich nicht. Es war zwar das richtige gemeint, diese Zeile ist aber falsch Augenzwinkern

air

Ln fehlt, gel? Augenzwinkern

Partielle Integration
$\begin{eqnarray*} = x * ln (x² + t) + \int_{b}^{a}~\frac{2x²}{(x²+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = x * ln (x² + t) + ??? \end{eqnarray*}$

21.02.2008, 21:02

tmo

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statt + muss da ein minus hin.

wichtig ist jetzt, das integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2}{x^2+t}dx = 2\int \frac{x^2}{x^2+t}dx \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

ich betrachte nun erstmal den fall $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ .
dazu schreibt man $\begin{eqnarray*} x^2 = x^2+t-t \end{eqnarray*}$ im zähler und kommt zu

$\begin{eqnarray*} 2\int \frac{x^2}{x^2+t}dx = 2 \int 1-\frac{t}{x^2+t}dx=2 \int 1-\frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{t}} \right)^2+1}dx \end{eqnarray*}$ .

nun substituiere $\begin{eqnarray*} z = \frac{x}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ .

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