Nochmals Integral

21.02.2008, 20:40

Frooke

Nochmals Integral

Es tut mir leid, dass ich schon wieder störe, aber ich habe hier ein neues Integralproblem:

Meine Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C:|\operatorname{Im} z |<\ell\} \end{eqnarray*}$ holomorph und $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=0 \end{eqnarray*}$ .

Weiter existiert das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\dx \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)~\dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x+\mathrm i\alpha)~\dx~~\forall \alpha\in(-\ell,\ell) \end{eqnarray*}$

Meine Idee war folgende. Da f holomorph ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-r}^{r}f(x)~\dx+\int\limits_{r}^{r-\mathrm i\alpha}f(x)~\dx+\int\limits_{r-\mathrm i\alpha}^{-r-\mathrm i\alpha}f(x)~\dx+\int\limits_{-r-\mathrm i\alpha}^{-r}f(x)~\dx=0~~\forall r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Das lässt sich umschreiben (Substitution und Umordnung) :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-r}^{r}f(x)~\dx-\int\limits_{-r}^{r}f(x+\mathrm i\alpha)~\dx+\int\limits_{r}^{r-\mathrm i\alpha}f(x)~\dx+\int\limits_{-r-\mathrm i\alpha}^{-r}f(x)~\dx=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich den Limes für r gegen unendlich nehmen und dann verschwinden ja die beiden hinteren Integrale. Meine Frage: Wie schreibt man das sauber auf, bzw. wie ist genau $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=0 \end{eqnarray*}$ zu verstehen? Heisst das reelle z oder ist gemeint:

$\begin{eqnarray*} \lim_{|z|\to\infty}f(z)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Besten Dank.

21.02.2008, 21:17

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib dir mal unsere Definition rein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=w \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon>0\,\,\exists M>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} |z|>M\Rightarrow|f(z)-f(w)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

22.02.2008, 18:36

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=w \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\,\,\exists M>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} |z|>M\Rightarrow|f(z)-w|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

Dann entspräche das meiner zweiten Version.
Wie kann ich jetzt aber aber sauber aufschreiben, dass die Integrale verschwinden?

22.02.2008, 18:40

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

So ein Mist, da war ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zuviel böse

Na du weisst ja, dass wenn $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ gross genug ist, dann wird $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ immer kleiner. Das gilt insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

23.02.2008, 12:05

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nochmals Integral
Ist also folgende Schreibweise legitim?

$\begin{eqnarray*} A:=\lim_{r\to\infty}\left(\int\limits_{-r}^{r}f(x)~\dx-\int\limits_{-r}^{r}f(x+\mathrm i\alpha)~\dx+\int\limits_{r}^{r-\mathrm i\alpha}f(x)~\dx+\int\limits_{-r-\mathrm i\alpha}^{-r}f(x)~\dx\right)=0 \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \mathrm i\alpha \max_{x\in[-r,-r-i\alpha]} f(x)+\mathrm i\alpha \max_{x\in[r,r-i\alpha]}f(x)\to 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)~\dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x+\mathrm i\alpha)~\dx \end{eqnarray*}$

23.02.2008, 13:00

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nochmals Integral

Zitat:

Original von Frooke

$\begin{eqnarray*} \mathrm i\alpha \max_{x\in[-r,-r-i\alpha]} f(x)+\mathrm i\alpha \max_{x\in[r,r-i\alpha]}f(x)\to 0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du die Standardabschätzung benutzt?
Du musst nur die Betragsstriche noch schreiben, also
$\begin{eqnarray*} \max|f(x)| \end{eqnarray*}$

Ich denke mal dass dies OK ist so.

23.02.2008, 14:41

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich. Besten Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Nochmals Integral

Verwandte Themen