Rotationsintegral von f(x) = sin(x) - c

21.02.2008, 21:45

Sand*mann

Rotationsintegral von f(x) = sin(x) - c

Hallo!
Schreibe am Dienstag Mathe LK Klausur und mein super Lehrer ist die letzten zwei Wochen einfach mal nicht da und hinterlässt schöne Aufgaben, die keiner peilt. Augenzwinkern

Wäre sehr schön, wenn das hier jemand versteht und mir erklären könnte!

Zu meinem Problem:
Die Aufgabe lautet: "Der Graph zu f(x) = sin(x) rotiert um die Gerade g(x) = c mit 0 < c < 1 für x Element [0; pi]. Bestimmen Sie c so, dass der entstehende Rotationskörper minimales Volumen hat."

Meine Idee: Da ich keine Formel für Rotationsintegrale habe, die um eine Gerade, sondern nur um die x-Achse rotieren, erstelle ich eine neue Funktion mit der ich f(x) so verschiebe, dass die x-Achse dort liegt, wo die Gerade g(x) gelegen hätte.
Das ist doch dann h(x) = f(x) - g(x), also h(x) = sin(x) - c oder?

Soweit so gut.
Jetzt integrieren: $\begin{eqnarray*} \pi \int_{0}^{\pi}~(\sin(x) - c)²~dx \ \end{eqnarray*}$
Binomische Formel auflösen: $\begin{eqnarray*} \pi \int_{0}^{\pi}~(\sin(x)² - 2\sin(x)c + c²)~dx \ \end{eqnarray*}$
Stammfunktion: $\begin{eqnarray*} \pi [\frac{1}{2}(x-\sin(x)\cos(x))+2\cos(x)c+c²x]_{0}^\pi \end{eqnarray*}$
Pi und 0 eingesetzt: $\begin{eqnarray*} \pi((\frac{1}{2}(\pi-\sin(\pi)\cos(\pi))+2\cos(\pi)c+c²\pi) - (\frac{1}{2}(0-\sin(0)\cos(0))+2\cos(0)c+c²0)) \end{eqnarray*}$
Erstmal Tri-Go-Fktn ausrechnen: $\begin{eqnarray*} \pi(\frac{1}{2}(\pi-0(-1))+2(-1)c+c²\pi) - (\frac{1}{2}(0-0*1)+2*1*c+c²0)) \end{eqnarray*}$
Ausrechnen: $\begin{eqnarray*} \pi(\frac{1}{2}\pi-2c+c²\pi - 2c) \end{eqnarray*}$
Nächster Schritt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\pi²-4c\pi+c²\pi² \end{eqnarray*}$
Das ist mein tolles Integral(bzw Volumen), welches ich jetzt nach c auflösen kann:
DING DING DING Fehler gefunden!
Bevor ich das nach c auflöse, muss ich ja erstmal die erste Ableitung machen!
Sonst muss man nämlich pq-Formel anwenden und da kommt ein negativer Wert unter der Wurzel raus.
Ableitung: $\begin{eqnarray*} 2\pi² c - 4\pi \end{eqnarray*}$
und das aufgelöst ist $\begin{eqnarray*} c=0,32 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung ist automatisch erfüllt da zweite Ableitung wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray*} 2\pi² \end{eqnarray*}$
Damit ist dann auch bewiesen, warum bei c=0,32 das minimale Volumen liegt, da die zweite Ableitung ja > 0 ist und damit ein Tiefpunkt für das Volumen vorliegt.

Okay, könnte das ganze mal jemand kontrollieren?

Gruß, Sand*mann

21.02.2008, 21:52

Bjoern1982

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Zitat:

Jetzt integrieren: $\begin{eqnarray*} \pi \int_{0}^{\pi}~(\sin(x) - c)²~dx \ \end{eqnarray*}$

Nein, es muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} \pi \int_{0}^{\pi}~\sin²(x) - c²~dx \ \end{eqnarray*}$

21.02.2008, 22:05

Sand*mann

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Wieso?
So stehts in meinem Mathebuch: $\begin{eqnarray*} V=\int_{b}^{a}~\pi(f(x))²~dx \end{eqnarray*}$
Ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} V=\pi\int_{b}^{a}~(f(x))²~dx \end{eqnarray*}$
Und mein f(x) ist ja sin(x) - c. Also doch auch (sin(x) - c)² -> binomische Formel

21.02.2008, 22:19

tmo

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deine variante ist richtig @Sandmann.

Die Formel von Bjoern82 verwendet man, wenn die Fläche zwischen f(x) und g(x) um die x-Achse rotiert. das ist aber hier nicht der fall.

21.02.2008, 22:32

Sand*mann

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Wunderbar vielen dank! smile

Achso. und auf Bjoern82s Kram kommt dadurch: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\pi (sin(x))²~dx - \int_{0}^{\pi}~\pi (c)²~dx \end{eqnarray*}$ oder?
Ist ja das gleiche, was Bjoern82 geschrieben hat...

Gehört zwar nicht hier rein, aber hat vlt jemand ne Ahnung wie man die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^4-x²+x \end{eqnarray*}$ berechnet?

21.02.2008, 22:49

Airblader

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Zuerstmal kannst du ein x ausklammern, dann reduziert es sich (mit der Lösung x=0 natürlich) zu

$\begin{eqnarray*} -x^3 - x + 1 = 0 ~\Leftrightarrow~ x^3 + x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die letzte reelle Nullstelle kriegst du dann nur über ein Näherungsverfahren wie z.B. das Newtonverfahren - außer Michi (therisen) packt wieder so einen Hammer aus wie vor einiger Zeit Augenzwinkern

air

21.02.2008, 22:56

Sand*mann

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Japp, soweit war ich auch schon und Näherungsverfahren haben wir noch nicht gemacht. Gut, wiedermal eine vom Lehrer gestellte für den Kurs nicht lösbare Aufgabe. Zur Abwechslung mal nicht in der Klausur...

Danke!

21.02.2008, 23:16

Bjoern1982

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Nochmal zur Aufgabe mit der Rotation um die c-Achse:

Wenn man sich die Situation bzw die Rotation bildlich vorstellt sollte das Volumen doch eigentlich für c=1 am geringsten werden verwirrt

Das ganze Problem lässt sich meiner Meinung nach auf die Fläche zwischen der Sinuskurve und der Geraden c reduzieren, denn wenn deren eingeschlossene Fläche am geringsten ist sollte das Rotationsvolumen auch minimal sein.

22.02.2008, 00:02

Sand*mann

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Die einzige Chance Volumen einzusparen ist, dass sich bei der Rotation Flächen überschneiden und das geht nur bei c zwischen 0 und 1.

Ich muss mich aber trotzdem korrigieren. Das Ergebnis lautet 0,64 und nicht 0,32!

22.02.2008, 00:08

Airblader

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn man sich die Situation bzw die Rotation bildlich vorstellt sollte das Volumen doch eigentlich für c=1 am geringsten werden verwirrt

Da vorstellst du falsch smile

(<- das ist mit Absicht!)

Ja, es lässt sich theoretisch "reduzieren". Das Problem: Du musst die Schnittpunkte berechnen und entsprechend die Flächeninhalte addieren => sehr umständlich.
Beim Arbeiten mit dem Rotationsvolumen entfällt das durchs Quadrieren smile

air

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