Tangentengleichung

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Gornak Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentengleichung
Hallo,
ich habe ein Problem bezüglich einer Matheaufgabe:

Folgende aufgabe soll ich lösen:

Es sei f eine differenzierbare Funktion mit dem Schaubild K. Zeigen Sie, dass die Tangente t an K in B0(X0|f(X0)) die folgende Gleichung hat:

Tangente t:

y=f'(X0)(X-X0)+f(X0)

Ich muss doch dann zeigen, dass alle Tangente diese Gleichung haben, dass heißt ich muss mir irgendwie diese Gleichung herleiten können, aber leider habe ich keine Ahnung ,wie verwirrt

Könnte mir jemand sagen, wie ich das mache?
(Möglichst ausführlich Big Laugh )

Danke!!
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Funktion f(x) nicht gegeben?
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Aufgabe steht so in meinem Buch.

Aber das f(x) "darf" ja eigentlich gar nicht gegeben sein, weil dass ja eine allgemeine Formel ist und sich nicht auf eine bestimmte Funktion bezieht!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zeige einfach das deine Tangentenfunktion die beiden Eigenschaften einer Tangente erfüllt.
Sprich sie ist am Punkt x0 identisch mit der Funktion und dort ist die Ableitung gleich. Das machst du durch einfaches nachrechnen
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hallo,

zeige einfach das deine Tangentenfunktion die beiden Eigenschaften einer Tangente erfüllt.
Sprich sie ist am Punkt x0 identisch mit der Funktion und dort ist die Ableitung gleich. Das machst du durch einfaches nachrechnen


Mh, das versteh ich net, was meinst du damit? Kannst du dass vllt genauer erklären und eventuell an einem beispiel zeigen?

Danke
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine gesuchte Tangente t ist ja auch nur eine Gerade der Form t(x)=mx+b

Die Steigung m berchnet sich wie immer durch f '(x0).
Den y-Achsenabschnitt b erhälst du wenn du den gegebenen Berührpunkt (x0/f(x0)) in t(x) einsetzt und nach b auflöst.
Durch Zusammenfassen erhälst du deine Tangentengleichung.

Gruß Björn
 
 
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt also, dass

y=f'(X0)(X-X0)+f(X0) das gleiche ist wie y=mx+b ist

mh dann ist f'(X0)=m

aber wie kann ich meinen Berührpunkt (x0/f(x0)) in t(x) einsetzen?
weil den beiden gleichungen nach, ist doch f(X0) das gleiche wie b...
Was icbrauche ist doch eher das x, dass dann (X-X0) sein müsste, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Zitat:
Original von Gornak
y=f'(X0)(X-X0)+f(X0)

Das ist offensichtlich eine Gerade. Zeige nun, daß y(x_0) = f(x_0) und y'(x_0) = f'(x_0) ist. Dann muß das die Tangente an (x_0, f(x_0)) sein.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist offensichtlich eine Gerade. Zeige nun, daß y(x_0) = f(x_0) und y'(x_0) = f'(x_0) ist. Dann muß das die Tangente an (x_0, f(x_0)) sein.

Das bringt mich irgendwie jetzt nicht weiter...
Wo nehm ich den y(Xo) her?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch y(x)=f'(X0)(X-X0)+f(X0). Da brauchst du doch nur noch für x das x_0 einsetzen. Augenzwinkern
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du damit, dass es nicht y(x)=f'(X0)(X-X0)+f(X0) heißt, sondern mit eingesetzten Sachen y(Xo)=f'(X0)(X-X0)+f(X0) oder wie?
Also damit ist doch aber net bewiesen, dass das die Gleichung für alle solche Tangenten ist...
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Also um noch was zu ergänzen:

Ich muss eben en Aufgabe lösen die eben so wäre:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x² und der Punkt P(4/2), der nicht auf der Funktion liegt.

Bestimme die Tangente(n) an der Funktion durch Punkt P....

Da muss ich ja nur das x und das y in die Gleichung y=f'(X0)(X-X0)+f(X0) einsetzen und eben die Funktion, also 2=f'(X0)(4-X0)+x² also 2=4X0-X0²+X0²
also 2=4X0. Dann wäre X0 = 0,5 und der Berührpunkt der tangente K(0,5/0,25)
Dann muss ich die Steigung ausrechnen (Oh Gott, wie geht das nochmal, is schon so lange her Big Laugh ) und das wäre es...
Aber wenn ich dass meine Lehrerin so sag, dann sagt die:
ist ja alles schön und gut, aber wo hab ich die Gleichung y=f'(X0)(X-X0)+f(X0) her und wie bekomme ich die...
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Spätestens jetzt würde ich dir empfehlen Latex zu benutzen, da das ganze nun sehr unübersichtlich ausschaut.

Den Formeleditor findest du rechts unter Werkzeuge.
Die Formeln die du erstellst musst du mit Latex, dem f(x) Button oberhalb der Schreibleiste, umrahmen.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Also um noch was zu ergänzen:

Ich muss eben en Aufgabe lösen die eben so wäre:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x² und der Punkt P(4/2), der nicht auf der Funktion liegt.

Bestimme die Tangente(n) an der Funktion durch Punkt P....

Da muss ich ja nur das x und das y in die Gleichung einsetzen und eben die Funktion, also also
also. Dann wäre X0 = 0,5 und der Berührpunkt der tangente K(0,5/0,25)
Dann muss ich die Steigung ausrechnen (Oh Gott, wie geht das nochmal, is schon so lange her Big Laugh ) und das wäre es...
Aber wenn ich dass meine Lehrerin so sag, dann sagt die:
ist ja alles schön und gut, aber wo hab ich die Gleichung her und wie bekomme ich die...

Sidn die oberen rechenschritte überhaupt richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Spätestens jetzt wird es chaotisch und unübersichtlich. Also nochmal komplett von vorn:

Wir haben eine Funktion f(x) und einen Punkt P auf dieser Funktion an der Stelle x_0. Der Punkt P hat also die Koordinaten P(x_0; f(x_0)). Gesucht wird nun die Tangentengleichung der Tangente t an die Funktion in diesem Punkt P. Während wir noch darüber grübeln, wie diese wohl aussehen könnte, kommt ein schlauer Derwisch auf einem Kamel vorbei und sagt:

Die Tangentengleichung lautet:

Bevor wir noch fragen können, wie er darauf gekommen ist, verschwindet er wieder. Also überlegen wir:

t(x) ist in jedem Fall eine Geradengleichung, da man es auf die Form y = m*x + b bringen kann.

Als nächstes prüfen wir, ob die Tangente t durch den Punkt P läuft. Es müßte also t(x_0) = f(x_0) sein. Diese Prüfung solltest du ohne Probleme machen können.

Als letztes muß die Steigung der Tangente t genau gleich der Steigung der Funktion im Punkt P (und das ist eben f'(x_0) sein. Da t ja eine Gerade ist, kann man ganz leicht ihre Steigung an der Geradengleichung ablesen. Auch das solltest du ohne Mühe machen können.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

mh gut, dass war sehr gut verständlich aber an einem punkt haperts:

woher krieger ich t(X0)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Die Tangentengleichung lautet:

Was macht man wohl, wenn man den Funktionswert an einer Stelle x_0 haben möchte? Ganz einfach: man setzt in der Funktionsgleichung für x das x_0 ein.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

mh naja, also so richtig hab ichs noch net verstanden...
wenn du mir einen ganz großen gefallen zuen willst, könntest du das nochmal zusammenfassen und jede lücke oder problemstelle erklären?
du würdest mir damit echt einen riesen gefallen tuen!!
danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, das habe ich in meinen Beiträgen davor ausführlichst gemacht. Ich weiß ja auch nicht, was bei dir Lücken oder Problemstellen sind. Ich denke, es ist eher an dir, daß du genau schilderst, was du nicht verstehst.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich probiers mal Big Laugh

also, das f'(x) ist klar, das f(x) ist auch klar!
Das x in der Gleichung ist das x von meinem Punkt. (Stimmt das?)
Gut und jetzt: Was ist das Xo?
Und wenn du meinst ich soll in t(x) Xo einsetzen, dann heißt das, wenn mein Punkt z.B. (4|2) und meine Gleichung f(x)=x² dann muss ich einsetzen t(4)=f(Xo)...
16=2x, also x=4, damit habe ich bewiesen, dass mein Tangente auf dem Schaubild liegt.
Aber was ist der Unterschied zwischen X und Xo?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
Das x in der Gleichung ist das x von meinem Punkt. (Stimmt das?)

Welche Gleichung meinst du jetzt?

Zitat:
Original von Gornak
Gut und jetzt: Was ist das Xo?
Aber was ist der Unterschied zwischen X und Xo?

x ist eine Variable, das heißt x kann beliebige Werte aus dem Definitionsbereich annehmen. Jedem x wird dann der zugehörige Funktionswert f(x) bzw. die Steigung der Funktion an der Stelle x (= f'(x)) zugeordnet.

x_0 steht für eine prinzipell beliebig ausgewählte, aber feste Stelle auf der x-Achse. An dieser Stelle lautet der Funktionswert logischerweise f(x_0). Was gesucht wird, ist die Gleichung der Tangenten t an die Funktion f in dem Punkt (x_0; f(x_0)). In dieser Tangentengleichung wird natürlich auch wieder jedem x ein Funktionswert (diesmal t(x)) zugeordnet. Die Tangente muß, damit es wirklich die Tangente ist, lediglich 2 Bedingungen erfüllen:
1. Es ist t(x_0) = f(x_0). das heißt: die tangente geht tatsächlich durch den Punkt (x_0; f(x_0))
2. Die Steigung m der Tangenten ist gleich f'(x_0).

Jetzt muß man sich nur die Tangentengleichung daraufhin anschauen, ob diese Bedingungen hier erfüllt sind.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Also, da probier ich das mal an einem Beispiel:

Ich habe die Funktion und den Punkt

Jetzt nehme ich die Tangentenbleichung

Jetzt kann ich doch die Sachen einsetzen, die ich gegeben habe:





Jetzt kann ich die Mitternachtsformel nehmen und meine Schnittstellen ausrechen, die die Tangente haben wird:

(sry weis net wie wurzel geht)

also
und

Die gehen also beide durch den Punkt
Und ich hab eben die beiden Tangenten



Ist das jetzt alles so richtig, hab ich was vergessen oder stimmt das?

Edit: ja ich hab was vergessen: und zwar, der Beweis, dass die Tangent nachher
auch auf dem Schaubild liegt:

was muss ich da jetzt einsetzen?
also das wäre ja dann , aber was kommt bei t(x) rein?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
Jetzt nehme ich die Tangentenbleichung

unglücklich Die haben wir doch schon mehrfach hingeschrieben. Richtig ist:


Zitat:
Original von Gornak
Jetzt kann ich doch die Sachen einsetzen, die ich gegeben habe:



Ebenfalls falsch. Für das x wird (erstmal) nichts eingesetzt. Das ist die Funktionsvariable für die Tangente. Erst wenn du den Funktionswert der Tangente an einer bestimmten Stelle berechnen willst, mußt du für das x den entsprechenden Wert einsetzen. Also: du brauchst nur für das x_0 einen Wert (hier also die 4) einsetzen. Fertig.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

mh dann wäre das in meinem fall also:





Stimmt das so? Weil irgendwie kann das nicht sein, wenn ich das so weiter rechne, dann kommen Sachen raus die nicht stimmen:




Und das mit Minus geht nciht, weil meine Funktion ja nur im postivien Bereich ist,
das was ich aber vorhin gerechnet habe:

Jetzt kann ich doch die Sachen einsetzen, die ich gegeben habe:





Jetzt kann ich die Mitternachtsformel nehmen und meine Schnittstellen ausrechen, die die Tangente haben wird:

(sry weis net wie wurzel geht)

also
und

Die gehen also beide durch den Punkt
Und ich hab eben die beiden Tangenten




da kam das richtige raus... also jetzt bin ich ganz verwirrt... Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
mh dann wäre das in meinem fall also:



Du bist sehr beratungsresistent. unglücklich Falsch ist das 1/2 x². Schau dir nochmal genau die Tangentengleichung an.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

oh... doof, stimmt das ist ja f(x0)...
also muss ich da einsetzen oder wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und das jetzt einsetzen. Ich möchte aber noch anmerken, daß der Punkt (4; 2) kein Punkt der Funktion f(x) = 0,5 * x² ist. Augenzwinkern
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist doch das problem bei der aufgabe:

der punkt liegt eben NICHT auf der Funktion sonder außerhalb und ich soll durh den Punkt die Tangenten an die Funktion machen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Das sehe ich anders:
Zitat:
Original von Gornak
Es sei f eine differenzierbare Funktion mit dem Schaubild K. Zeigen Sie, dass die Tangente t an K in B0(X0|f(X0)) die folgende Gleichung hat:

Der Punkt B ist ganz klar ein Punkt der Funktion f. Also jetzt sollten wir uns einigen, worum es überhaupt geht.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hab glaub hier 2 Sachen ein bisschen vermischt:

1. Wie beweise ich die Tangentengleichung und
2. Wie bekomme ich einen Tangente durch einen Punkt außerhalb des Schaubildes an die Kurve...

ich denke, dass das da:





Jetzt kann ich die Mitternachtsformel nehmen und meine Schnittstellen ausrechen, die die Tangente haben wird:

(sry weis net wie wurzel geht)

also
und

Die gehen also beide durch den Punkt
Und ich hab eben die beiden Tangenten



der 2. Punkt wäre, also Punkt außerhalb des Schaubildes und das müsste doch so stimmen, oder?

Und Punkt 1 (Beweis) war ja mein Ausgangsproblem...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
2. Wie bekomme ich einen Tangente durch einen Punkt außerhalb des Schaubildes an die Kurve...

ich denke, dass das da:



Halb richtig, halb falsch. Warum um alles in der Welt schreibst du immer wieder - trotz mehrfachen Hinweises - dieses 1/2 x² ? verwirrt
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich hatte es ja nur von vorhin kopiert aber was muss denn da hin?
also ich hab doch sonst nix mehr...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Tangentengleichung hat da f(x_0) zu stehen. Wenn f(x) = 1/2 * x² ist, dann ist also f(x_0) = ?
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

ACHSOOOOO (das war die große erleuchtung)

also muss da f(4) hin, das wäre dann: 1/2*4² also 8. aber was mich noch wundert, ich hab das doch vorhin falsch gerechnet, weil ich hab ja f(x) eingesetzt und nicht f(Xo). Und trozdem war das Ergebis richtig, warum?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
also muss da f(4)

Ich brech zusammen. Das x_0 kennen wir doch gar nicht, sondern soll erst bestimmt werden. Es muß da f(x_0) hin, und da f(x) = 1/2 * x² ist, ist f(x_0) = ?
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

ja wenn wir aber Xo nicht kennen wie soll ich dann f(Xo) einsetzen???
Ich glaub ich verzweifel noch... Also was ist Xo???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht erstmal nicht darum, was x_0 ist, sondern was f(x_0) ist. Bei f'(x_0) hast du doch auch kein Gezeter gemacht. Oder war das nur zufällig richtig? Natürlich ist f(x_0) keine konkrete Zahl wie 5 oder 8. Das ist eben ein Term mit x_0 drin.
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weiß, dass f'(x) eben die ableitung ist und ich weis auch wie man die bestimmt, aber bei f(Xo) weis ich ds leider nicht
Gornak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Natürlich ist f(x_0) keine konkrete Zahl wie 5 oder 8. Das ist eben ein Term mit x_0 drin.


also wenn das ein Term ist, dann müsste das doch f(Xo)=1/2Xo² sein, wenn cih das jetzt richtig versteh.... und wenn net, dann müsste ich wirklich sehr gerne wie dieser Term geht und was f(Xo) ist!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gornak
also wenn das ein Term ist, dann müsste das doch f(Xo)=1/2Xo² sein

Genau das ist es. Rock
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