ultrametrik

23.02.2008, 12:28

bluemchen

ultrametrik

hallo zusammen.

Ich habe etwas mühe mir etwas vorzustellen, deshalb kann ich auch die aufgabe nicht lösen. vielleicht kann mir jemand helfen.

ich muss zeigen:

1) d ist Ultrametrik (d.h. eine Metrik wobei auch die verschärfte dreiecksungl gilt)

ist äquivalent zu:

2) Zwei Abstandsbälle sind entweder disjunkt oder ineinander enthalten.

Ich kann mir nun nicht vorstellen was diese abstandsbälle genau sein könnten. hat vielleicht jemand von euch eine idee? =)

vielen dank

23.02.2008, 12:50

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ultrametrik

Zitat:

Original von bluemchen

2) Zwei Abstandsbälle sind entweder disjunkt oder ineinander enthalten.

du meinst wohl, dass dann einer in dem anderen enhalten ist.

am einfachsten ist wohl die richtung 2) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 1) mit hilfe eines Widerspruchsbeweis:

nehme an, d sei keine Ultrametrik (aber eine "normale" Metrik), es gibt also 3 Punkte a,b,c mit $\begin{eqnarray*} d(a,b) > \max (d(a,c),d(c,b)) \end{eqnarray*}$ .

nun konstruiere 2 Abstandsbälle, die der Aussage 2) widersprechen.

23.02.2008, 12:56

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe eben nicht ganz, was ein abstandball ist? ein ball mit radius d(x,y) bzw. d(x,z), bzw. d(y,z) oder wie muss ich mir das vorstellen? danke schon mal für deine hilfe...

23.02.2008, 13:08

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

In einem metrischen raum $\begin{eqnarray*} (M,d) \end{eqnarray*}$ ist ein Abstandsball oder auch Kugel um einen Punkt x mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ (daher auch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung genannt) so definiert:

$\begin{eqnarray*} B_\varepsilon (x) := \{y \in M \mid d(x,y)<\varepsilon \} \end{eqnarray*}$

23.02.2008, 13:19

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

achso.. ja ich wusste wirklich nicht was er mit diesem abstandsball meint.
hm ja und nun habe ich ja $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x)= \{y\in M\mid d(x,y) < \epsilon\}. \end{eqnarray*}$
Kann ich nun $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(z)= \{y\in M\mid d(z,y) < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ setzen?
und dann was kann ich nun tun? sorry, steh total auf dem schlauch..

23.02.2008, 13:25

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bluemchen

Kann ich nun $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(z)= \{y\in M\mid d(z,y) < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ setzen?

ja, aber das bringt nichts, da du einfach in der definition x durch z ersetzt hat.

betrachte noch mal den tipp hier:

Zitat:

Original von tmo
nehme an, d sei keine Ultrametrik (aber eine "normale" Metrik), es gibt also 3 Punkte a,b,c mit $\begin{eqnarray*} d(a,b) > \max (d(a,c),d(c,b)) \end{eqnarray*}$ .

und wähle $\begin{eqnarray*} B_{d(a,c)}(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_{d(c,b)}(b) \end{eqnarray*}$ . zeige dass die beiden Bälle mindestens ein gemeinsames Element haben (benutze dazu die einfache Dreiecksungleichung, die in jedem metrischen Raum gilt) und dass sie aber beide mindestens ein Element haben, welches jeweils nicht in dem anderen Ball enthalten ist.

PS: versuche erst gar nicht dir eine solche ultrametrik anschaulich vorzustellen. das bringt nichts, da es jeder anschauung widerspricht Big Laugh

23.02.2008, 13:39

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

ja in meinem kopf widerspricht sich wirklich alles smile

$\begin{eqnarray*} B_{d(a,c)}(a)= \{b\in M \mid d(a,b)<d(a,c)\} \end{eqnarray*}$ und analog: $\begin{eqnarray*} B_{d(c,b)}(b)= \{b\in M \mid d(a,b)<d(c,b)\} \end{eqnarray*}$
ach ich bin total verwirrt, nicht mal sicher ob das der richtige ansatz ist.

23.02.2008, 16:31

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast unglückliche bezeichner gewählt.

du kannst so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} B_{d(a,c)}(a)= \{y \in M \mid d(a,y)<d(a,c)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{d(c,b)}(b)= \{y \in M \mid d(b,y)<d(c,b)\} \end{eqnarray*}$

nun zeige mal:

$\begin{eqnarray*} a \notin B_{d(c,b)}(b) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b \notin B_{d(a,c)}(a) \end{eqnarray*}$

beachte dazu, dass wir $\begin{eqnarray*} d(a,b) > \max (d(a,c),d(c,b)) \end{eqnarray*}$ angenommen haben.

damit wäre dann gezeigt, dass die keine der beiden bälle in dem anderen enthalten ist. danach musst du noch zeigen, dass sie nicht disjunkt sind und schon hätten wir den gewünschten widerspruch.

edit: ich muss mich wohl bei dir entschuldigen. mit den beiden Bällen kommst du nicht zum ziel. viel mehr musst du die Bälle $\begin{eqnarray*} B_{d(a,b)}(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_{d(a,b)}(b) \end{eqnarray*}$ betrachten.

zeige, dass c in beiden Bällen drin ist und wie oben
$\begin{eqnarray*} a \notin B_{d(a,b)}(b) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b \notin B_{d(a,b)}(a) \end{eqnarray*}$

23.02.2008, 18:05

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, muss das heute abend nochmals anschauen.. vielen dank jedenfalls. lg

25.02.2008, 22:46

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ultrametrik
ich habe nun diese richtung des beweises hingebracht smile

schon mal vielen dank smile

war wirklich eine tolle unterstützung.. nun arbeite ich nur noch an der anderen richtung des beweises... da hast du nicht auch noch gerade eine idee? =)

25.02.2008, 22:51

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

doch eine solche hab ich zufällig Augenzwinkern

wir nehmen an d ist eine Ultrametrik.

nun nimmst du dir 2 beliebige kugeln/abstandsbälle $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon_a}(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon_b}(b) \end{eqnarray*}$ .

1. fall: sie sind disjunkt. alles klar das darf ja der fall sein.

2. fall: sie sind nicht disjunkt, es existiert also ein x, sodass gilt
$\begin{eqnarray*} x \in B_{\varepsilon_a}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in B_{\varepsilon_b}(b) \end{eqnarray*}$

nun nehme o.B.d.A an es sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon_a \leq \varepsilon_b \end{eqnarray*}$ und zeige mit hilfe der verschärften dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon_a}(a) \subseteq B_{\varepsilon_b}(b) \end{eqnarray*}$

25.02.2008, 22:55

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

wow super, vielen dank smile

wirklich toll smile

25.02.2008, 23:00

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die hinrichtung schon gezeigt hast, wärst du dann so nett deine lösung hier reinzuschreiben? erstens kann man dann nochmal drüber gucken und zweitens mag es ja sein, dass in zukunft jemand das selbe problem hat (da ich hier noch nicht soooo viele fragen zu einer ultrametrik gesehen habe, würde derjenige diesen thread sogar schnell finden Augenzwinkern

).
genauso kannst du es ja dann mit der anderen richtung handhaben, wenn du damit fertig bist.

25.02.2008, 23:27

bluemchen

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, werd ich machen... habs nur erst gerade gesehen und jetzt muss ich erst mal schlafen gehn smile

Neue Frage »

Antworten »

ultrametrik

Verwandte Themen