ungleichung zeigen

30.08.2005, 17:49

Sharenya

ungleichung zeigen

huhu ihr Knobbler =) Mal eine kleine Aufgabe =) Viel spass beim lösen. (=
Also:
Es seien x,y reelle Zahlen mit y>=0 und y*(y+1)< = (x+1)². Zeigen sie, dass dann y*(y-1)< = x² gilt.

30.08.2005, 17:51

JochenX

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auch hier meine frage: hausaufgabe, oder?

bitte gewöhne dir an, aussagekräftigere titel als "knobeleien, anschauen" zu finden
außerdem fehlt da was, "mit >=0"; was ist >=0?

eigene ansätze etc.?

31.08.2005, 15:30

brunsi

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vielleicht sind ja x und y beide >=0? verwirrt

31.08.2005, 15:45

Lazarus

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evtl. steht das zeichen aber auch für einen pacman !

im ernst: mathematisch ist das so unsauber wie nur möglich geschrieben, bitte bischen mehr auf formalitäten achten Augenzwinkern

denk mal du meinst das:
$\begin{eqnarray*} \text {Es seinen } x,y \in \mathbb R_{0}^{+} \text{ Wenn nun gelte: }y \cdot (y+1) \leq (x+1)^2 \; \text {dann möge auch } y \cdot (y-1) \leq x^2 \text { gelten.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text { Bitte beweisen sie das vollständig und schlüssig!} \end{eqnarray*}$

(nebenbei: wir hatten diesen unteren satz mal in der prüfung stehn .. frage mich bis heute wie man unschlüssig beweisen kann ..)

so und was hast du dir nun überlegt ?

servus

31.08.2005, 16:18

pimaniac

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so eine schwule angabe hab ich ja noch nie gelesen... :-)

31.08.2005, 18:53

mercany

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@Lazarus

Ein unschlüssiger Beweis ist ja wohl eher garkein Beweis.
Denn wenn es "unschlüssig" ist, dann ist es ja nicht korrekt belegt und somit auch nicht bewiesen! smile

Gruß, mercany

31.08.2005, 22:41

irre.flexiv

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Sieht irgendjemand eine elementare Umformung um das Problem zu lösen?
Meine Lösung ist etwas umständlich.

31.08.2005, 23:08

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Macht ja nichts, solange sie nur stimmt. Aber da scheinst du dir nicht so sicher sein?

31.08.2005, 23:27

Egal

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wenn mans so umformt das man die Vorraussetzung nutzen kann ist es eigentlich ein recht einfacher direkter Schluss

01.09.2005, 01:12

irre.flexiv

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@Egal: Heißt das das du die Umformung hinbekommst? Würde mich interessieren.
@Arthur: Nein, ich hatte nur keine Motivation das hier abzutippen smile

:

Für $\begin{eqnarray*} y \leq x+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ folgt die Richtigkeit der Aussage. (ausprobieren)
Ausserdem sieht man sofort $\begin{eqnarray*} y < x + 1 \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt also die Aussage für den Fall $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{2} < y < x + 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Jetzt wähle $\begin{eqnarray*} y = x + c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < c < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(y+1) \leq (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+c)(x+c+1) \leq (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+2cx+x+c^2+c \leq x^2+2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(2c-1) \leq 1-c-c^2 \end{eqnarray*}$ (nach Wahl von c ist $\begin{eqnarray*} 2c-1 > 0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x \leq \frac{1-c-c^2}{2c-1} = \frac{c-c^2-2c+1}{2c-1} = \frac{c-c^2}{2c-1} - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt folgt aus $\begin{eqnarray*} x \leq \frac{c-c^2}{2c-1} - 1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \leq \frac{c-c^2}{2c-1} \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} x(2c-1) \leq c-c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2cx-x \leq c-c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+2cx-x-c+c^2 \leq x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+c-1) (x+c) \leq x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y-1)y \leq x^2 \end{eqnarray*}$

01.09.2005, 02:52

Bobo

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ist das nicht umständlich?
man ermittelt einfach das minimal mögliche x bei festem y.
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y+1) = (x+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y \cdot (y+1)} = x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y \cdot (y+1)}-1 = x \end{eqnarray*}$
jetzt setzt man das in die zweite Ungleichung ein.
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq {(\sqrt{y \cdot (y+1)} -1)}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq y \cdot (y+1)-2 \cdot \sqrt{y \cdot (y+1)} +1 \end{eqnarray*}$
Jetzt verwendet man:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y \cdot (y+1)} < y+\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ (Nachweis durch Quadrieren der Gleichung)
Nun einfach:
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) = y \cdot (y+1)-2 \cdot (y+ \frac 1 2) +1 < y \cdot (y+1)-2 \cdot \sqrt{y \cdot (y+1)} +1=x^2 \end{eqnarray*}$

Um genau zu sein folgt daraus $\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) < x^2 \end{eqnarray*}$ !

01.09.2005, 11:52

irre.flexiv

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Stimmt. Na wenigstens ist meine Lösung originell *g

01.09.2005, 20:10

Sharenya

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*fehln grad die wörter und murmelt* wow...
darauf wäre ich irgendwie nicht gekommen....schon mal danke =)))

aber jetzt kommt mein aber^^° =/
entweder bin ich zu doof, oder weis nicht:

Zitat:

Original von Bobo
jetzt setzt man das in die zweite Ungleichung ein.
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq {\sqrt{y \cdot (y+1)} -1}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq y \cdot (y+1)-2 \cdot \sqrt{y \cdot (y+1)} +1 \end{eqnarray*}$ [/latex] !

bei der 2 gleichung..okay soweit komme ihc mit...aber wieso kommt man da auf 2? ist 1² nicht 1? oder versteh ich da was falsch???

01.09.2005, 23:40

Bobo

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Da hat doch tatsächlich der Fehlerteufel zugeschlagen.
Die Klammern fehlen (wurde jetzt editiert)
Es ist ja die ganze Klammer gleich x

02.09.2005, 16:31

Sharenya

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okay so weit so gut...das mit der klammer dachte ich mir fast.....nur was ich nicht weiß ist, wie die '2' in der 6 zeile zustande kommt.... [?]

und der 2 term der 6 zeile....

und das mit dem 1/2 irgendwie auch nicht....

02.09.2005, 19:24

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binomische Formel...

03.09.2005, 12:43

BinnurzuBesuch

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Hallo Leute,

ich hätte den Beweis anders geführt. Mich würde mal interesieren, ob mein Weg auch korrekt ist

Bis zur Ungleichung $\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) \leq y \cdot (y+1)-2 \cdot \sqrt{y \cdot (y+1)} +1 \end{eqnarray*}$ habe ich es genau so gemacht.

Dann bin ich folgendermaßen weiterverfahren:

$\begin{eqnarray*} y^2-y\leq y^2+y-2\sqrt{y(y+1)}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{y(y+1)}\leq 2y+1 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ , ist sowohl $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{y(y+1)}\leq 0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 2y+1\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Daher kann ich ohne Veränderung des Relationszeichens quadrieren:

$\begin{eqnarray*} 4y(y+1)\leq 4y^2+4y+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4y^2+4y\leq 4y^2+4y+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq 1 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der wahren Aussage $\begin{eqnarray*} 0< 1 \end{eqnarray*}$ ist die Implekation unter den genannten Voraussetzungen bewiesen.

04.09.2005, 16:42

Kikako [gast]

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Sagt mal, entweder bin ich oda ihr bescheuert.....kann mir mal einer sagen wie dass stimmen soll? $\begin{eqnarray*} \sqrt{y\cdot (y+1)}< y+ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

geht meinr logic nach nich^t, setzt doch mal 1 für y ein....

und wie kommt ihr überhaubt darauf? ò.o verwirrt

04.09.2005, 17:00

irre.flexiv

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*g es geht auch mit 1, schau nochmal genau rauf

04.09.2005, 17:04

Lazarus

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Zitat:

Original von BinnurzuBesuch
Aufgrund der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ , ist sowohl $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{y(y+1)}\leq 0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 2y+1\leq 0 \end{eqnarray*}$

das wunder mich ein bisschen!

wie soll $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{y(y+1)}\leq 0 \end{eqnarray*}$ das kleiner null sein ?

wenn y > -1 ist kommt bekommst du unter der wurzel was negative und wenn y < -1 bekommste insgesamt was positives !

servus

04.09.2005, 17:53

irre.flexiv

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er hat sich verschrieben schätz ich mal
die Voraussetzung lautet ja $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$
Die Relationszeichen in der Zeile müssen alle umgedreht werden.

04.09.2005, 18:27

Kikako [gast]

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mit 1 mal propier....

1*1+1=2
1+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ =1,5
und 1,5 ist....ah! *klick gemacht hat* da steht ja noch die Wurzel ziehn, okay^^°°°°°°° *ups*

04.09.2005, 18:30

irre.flexiv

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@ BinnurzuBesuch:
Du hast gezeigt das alle Paare x,y die die erste Ungleichung erfüllen auch die zweite erfüllen. Dein Beweis ist also auch richtig.

06.09.2005, 10:26

BinnurzuBesuch

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Zitat:

Original von irre.flexiv
er hat sich verschrieben schätz ich mal
die Voraussetzung lautet ja $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$
Die Relationszeichen in der Zeile müssen alle umgedreht werden.

Richtig, da habe ich wohl den \leq und den \geq Befehl verwechselt Hammer

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