stetig und differenzierbar |
31.08.2005, 21:13 | help!!! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stetig und differenzierbar Was besteht denn für ein ZUsammenhang zwischen stetigen Funktionen und differenzierbaren Funktionen? Und ist jede stetige Funktion auch differenzierbar und umgekehrt??? BItte könnt ihr mir helfen diese Fragen zu beantworten! |
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31.08.2005, 21:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
diffbar => stetig umkehrung gilt nicht soll heißen: eine funktion kann nur an stellen diffbar sein, an denen sie stetig ist |
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31.08.2005, 21:23 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch zur Ergänzung: Anschaulich kann man folgendes sagen: "Stetig" bedeutet, dass du die Funktion an der entsprechenden Stelle keine Lücke und keinen Sprung hat, so dass man die Kurve mit dem Stift zeichnen kann, ohne abzusetzen. "Differenzierbar" bedeutet, dass die Funktion an einer Stelle nicht nur durchgezogen ist, sondern auch keinen Knick hat. |
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31.08.2005, 22:45 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: stetig und differenzierbar
jede stetige funktion kann differenzierbar sein, jede differenzierbare funktion muss stetig sein ! zu der beschreibung ist noch anzumerken dass das nur für den definitions-bereich der jeweiligen funktion gilt. servus |
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31.08.2005, 23:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: stetig und differenzierbar
Das ist eine sehr merkwürdige und missverständliche Formulierung. Sicher meinst du eher "eine stetige funktion kann differenzierbar sein" |
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01.09.2005, 01:19 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Trotzdem ist die Aussage nicht falsch *g |
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01.09.2005, 03:16 | Bobo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gibt es überhaupt stetige Funktionen die selbst Abschnittsweise nicht diffbar sind? Also mir wäre das neu. Zumindest ist mir keine Funktion bekannt die nach jedem Punkt die Richtung wechselt. Also ich würde sagen: Abschnittsweise ist jede stetige Funktion auch diffbar. Falls es doch so eine Funktion geben sollte auf die das nicht zutrifft, informiert mich bitte darüber |
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01.09.2005, 09:24 | Trazom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
http://de.wikipedia.org/wiki/Kochkurve Überall stetig, nirgendwo diffbar. |
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01.09.2005, 09:36 | Xytras | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder auch ein anderes Beispiel (diesmal aus der Stochastik): http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess#Eigenschaften_der_Pfade Hier allerdings nur "fast sicher" nicht differenzierbar... |
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01.09.2005, 09:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Strenggenommen ist die Kochkurve selbst kein Graph einer reellwertigen Funktion. Aber richtig, mit ähnlichen Fraktalprinzipien lässt sich eine solche nirgends monotone Funktion konstruieren. @Xytras Ist zwar richtig, aber für den Nicht-Stochastiker vermutlich nicht überzeugend. Der ist sicher mit deterministischen Beispielen besser bedient. EDIT: Beiliegend mal die graphische Konstruktionsanleitung einer solchen Funktion. Der Prozess über grüne, rote und blaue Funktion muss natürlich ad infinitum fortgesetzt werden, aber diese Funktionenfolge konvergiert dann tatsächlich gegen eine stetige, aber in keinem noch so kleinem Intervall monotone Funktion. |
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01.09.2005, 20:36 | help!!! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gibt es da vielleicht ach nen einfaches Beispiel, das das auch so ist? |
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01.09.2005, 21:51 | Trazom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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01.09.2005, 23:44 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Satz: Ist eine Funktion an einer inneren Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Beweis: Du erweiterst den Term mit . Anschliessend formst du um: Anschliessend führst du den Grenzübergang durch. Also: Du weißt, dass nach Vorraussetzung differenzierbar ist. Also Durch den Grenzwert gilt jetzt Somit gilt für unsere Gleichung: So: Und das ist ja nichts anderes als die allgemeine Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der . Der Satz ist damit also bewiesen, die Umkehrung dieses Satzes ist allerdings, wie bereits schon hier erwähnt, falsch! Bestes Beispiel: mit . Gruß, mercany \\edit: |
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