stetig und differenzierbar

Neue Frage »

help!!! Auf diesen Beitrag antworten »
stetig und differenzierbar
Hallöchen ich bräuchte mal dringend HILFE!!!
Was besteht denn für ein ZUsammenhang zwischen stetigen Funktionen und differenzierbaren Funktionen?

Und ist jede stetige Funktion auch differenzierbar
und umgekehrt???
BItte könnt ihr mir helfen diese Fragen zu beantworten!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

diffbar => stetig
umkehrung gilt nicht

soll heißen: eine funktion kann nur an stellen diffbar sein, an denen sie stetig ist
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Noch zur Ergänzung:

Anschaulich kann man folgendes sagen:

"Stetig" bedeutet, dass du die Funktion an der entsprechenden Stelle keine Lücke und keinen Sprung hat, so dass man die Kurve mit dem Stift zeichnen kann, ohne abzusetzen.

"Differenzierbar" bedeutet, dass die Funktion an einer Stelle nicht nur durchgezogen ist, sondern auch keinen Knick hat.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig und differenzierbar
Zitat:
Original von help!!!
Und ist jede stetige Funktion auch differenzierbar


jede stetige funktion kann differenzierbar sein,
jede differenzierbare funktion muss stetig sein !

zu der beschreibung ist noch anzumerken dass das nur für den definitions-bereich der jeweiligen funktion gilt.

servus
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig und differenzierbar
Zitat:
Original von Lazarus
jede stetige funktion kann differenzierbar sein,

Das ist eine sehr merkwürdige und missverständliche Formulierung. Sicher meinst du eher

"eine stetige funktion kann differenzierbar sein"
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem ist die Aussage nicht falsch *g
 
 
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es überhaupt stetige Funktionen die selbst Abschnittsweise nicht diffbar sind? Also mir wäre das neu. Zumindest ist mir keine Funktion bekannt die nach jedem Punkt die Richtung wechselt.

Also ich würde sagen: Abschnittsweise ist jede stetige Funktion auch diffbar.

Falls es doch so eine Funktion geben sollte auf die das nicht zutrifft, informiert mich bitte darüber smile
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Kochkurve

Überall stetig, nirgendwo diffbar.
Xytras Auf diesen Beitrag antworten »

Oder auch ein anderes Beispiel (diesmal aus der Stochastik):
http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess#Eigenschaften_der_Pfade

Hier allerdings nur "fast sicher" nicht differenzierbar...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Strenggenommen ist die Kochkurve selbst kein Graph einer reellwertigen Funktion. Aber richtig, mit ähnlichen Fraktalprinzipien lässt sich eine solche nirgends monotone Funktion konstruieren.

@Xytras

Ist zwar richtig, aber für den Nicht-Stochastiker vermutlich nicht überzeugend. Der ist sicher mit deterministischen Beispielen besser bedient.


EDIT: Beiliegend mal die graphische Konstruktionsanleitung einer solchen Funktion. Der Prozess über grüne, rote und blaue Funktion muss natürlich ad infinitum fortgesetzt werden, aber diese Funktionenfolge konvergiert dann tatsächlich gegen eine stetige, aber in keinem noch so kleinem Intervall monotone Funktion.
help!!! Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es da vielleicht ach nen einfaches Beispiel, das das auch so ist?
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Strenggenommen ist die Kochkurve selbst kein Graph einer reellwertigen Funktion. Aber richtig, mit ähnlichen Fraktalprinzipien lässt sich eine solche nirgends monotone Funktion konstruieren.
Hab ich auch nicht behauptet, dass sie das sei. Du kannst sie aber als f: R -> R^2 auffassen
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von help!!!
Gibt es da vielleicht ach nen einfaches Beispiel, das das auch so ist?



Satz:
Ist eine Funktion an einer inneren Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.


Beweis:

Du erweiterst den Term mit .

Anschliessend formst du um:

Anschliessend führst du den Grenzübergang durch.
Also:




Du weißt, dass nach Vorraussetzung differenzierbar ist. Also

Durch den Grenzwert gilt jetzt


Somit gilt für unsere Gleichung:


So: Und das ist ja nichts anderes als die allgemeine Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der .

Der Satz ist damit also bewiesen, die Umkehrung dieses Satzes ist allerdings, wie bereits schon hier erwähnt, falsch!


Bestes Beispiel: mit .




Gruß, mercany


\\edit:
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »