Hessesche Normalenform

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freaky Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalenform
Hi Wink Ich hab hier ne Aufgabe zum Themenbereich Hessesche Normalenform und komm irgendwie voll nicht klar wie ich überhaupt ansetzen muss unglücklich ....das geht von a-d aber ich fang mal bei a an, was ja schon mal ein Anfang wäre.... verwirrt

Hilfe

Also gegeben ist der Punkt S(8/14/8) und die Ebene E



Bei a soll man zunächst den Fußpunkt M des Lotes von S auf die Ebene E bestimmen. Wie muss ich da vorgehen?

Danke für eure Tipps. smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

gerade durch S legen, senkrecht zu E (also einfach als richtungsvektor deren normalenvektor nehmen)
schneiden

finito
 
 
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine schnelle Antwort! smile

Der Normalenvektor der Ebene ist ja

Also ist die Gleichung der Geraden dann



oder



?



Und die beiden schneide ich dann und der Schnittpunkt entspricht dem Fußpunkt des Lotes von S auf E ja?!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
gerade durch S legen, senkrecht zu E (also einfach als richtungsvektor deren normalenvektor nehmen)
schneiden

finito

genau nachdenken, warum das geht
und das sollte zumindest deine frage beantworten


andere frage: ja so ist es, schnittpunkt ist der gesuchte punkt

mfg jochen




@brunsi: völlig sinnfreier beitrag, ich werde ihn löschen (edit: beitrag gelöscht)
Zitat:
brunsi
richtig und einfachste methode!!

danke für die bestätigung meiner antwort, aber was bringt das hier?
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...*nochmal im Buch gesucht hat* ....also theoretisch wäre dann



richtig?!

Dann mach ich mich jetzt mal an den Schnittpunkt...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »


so isses dann ganz richtig
auf kleinigkeiten in der darstellung achten
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...sorry!

Wenn ich das LGS löse, komme ich auf

x1= r - 1
x2= r + 5,5
x3= r + 9

Ist das jetzt schon die Lösung für den Fußpunkte oder komme ich irgendwie noch an r verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was hast du denn da gemacht, wenn ich fragen darf?

setze den allgemeinen gradenpunkt in die normalenform ein und schaue, für welchen parameter r diese normalenform erfüllt ist.
dafür musst du den "allgemeinen vektor minus stützvektor" mit dem normalenvektor skalarproduzieren.....

poste mal zwischenschritte
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte doch g mit der Ebene schneiden um an F zukommen....

Die beiden Zwischenschritte zwischen waren wiefolgt:
1. g = E [die ganze Gleichung brauch ich ja nicht nochmal hinschreiben)
2.

8 + 4 r = 4 x1 - (-12)
14 + 7 r = 7 x2 - 24,5
8 + 4 r = 4 x3 - 28

und dann als 3.

4 x1 = -4 + 4 r
7 x2 = 38,5 + 7 r
4 x3 = 36 + 4 r

und dann kam ich auf das da unten Augenzwinkern
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh auch nicht genau was du damit meinst...

"setze den allgemeinen gradenpunkt in die normalenform ein und schaue, für welchen parameter r diese normalenform erfüllt ist."
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst deine formen nicht einfach gleichsetzen so....
dazu müsstest du erst deine normalenform in parameterdarstellung bringen und..... zuviel des aufwands.

verstehst du, wie die normalenform funktioniert?
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Normalenform ist

[latex] (\vec{x}-\vec{p}) * \vec{n} = 0 (/latex)

Wobei p der Stützvektor und n der Normalenvektor ist.

Meinst du das?
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry...


JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

verstehst du aber, warum das eine ebene bildet?
oder kannst du nur die formel auswendig?

auf jeden fall müssen alle vektoren dieser ebene diese gleichung erfüllen, also auch der vektor, der auch teil der geraden ist...........
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Ehmmm joah erwischt Augenzwinkern ....anwenden und verstehen sind zweierlei...
Der Normalenvektor is doch orthogonal (rechtwinklig, senkrecht) zu den 2 linear unabhängigen Spannvektoren.

"auf jeden fall müssen alle vektoren dieser ebene diese gleichung erfüllen, also auch der vektor, der auch teil der geraden ist........... "
Heißt das ich soll den Punkt S in die Ebenengleichung einsetzen? Wozu hätte ich denn die Geradengleichung aufgestellt, denk die soll man gleichsetzen *verwirrt ist*
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nix S einsetzen
den allgemeinen geradenpunkt (mit parameter r) einsetzen

und dann das r bestimmen, für das die normalengleichung erfüllt ist



mach dir doch mal eine skizze zur normalenform
wenn das Skalarprodukt zweier vektoren (also verbindungsvektor von stützpunkt zu ebenenpunkt mit dem normalenvektor) 0 ist, dann heißt das.....
SKIZZE SKIZZE SKIZZE
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du denn mit allgemeinem Geradenpunkt (mit Paramter r)
Hab hier die Geradengleichung mit Stützvektor + Richtungsvektor, der dem normalenvektor der Ebene entspricht.

Hab hier ne skizze aber na ja... verwirrt ...shit wenn ich schon an der a scheiter bin ich sehr zuversichtlich für b-d unglücklich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

der allgemeine punkt der gerade ist eben, wenn du für r keinen festen wert einsetzt, sondern es als parameter stehen lässt

setz diesen allgemeinen vektor (mit r) in deine normalenform ein
groß anders kann ichs dir jetzt auch nicht erklären

einsetzen und dann das skalarprodukt berechnen und dann schauen, für welches r das 0 ist
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

@Jochen: erkläre es ihm/ihr doch einfach mal an einem anderen selbstgewählten beispiel. manchmal hilft es wenn man sieht was gemacht wird.


(dieser beitrag hat nen sinn also nicht löschen)! Forum Kloppe
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Shit das kapier ich nicht....

aber ich dachte gerade ich hätte eine Erleuchtung Augenzwinkern

Das was ich eben für x1,x2,x3 raushatte, wo der Parameter r noch mit drin war, hab ich in die Ebenengleichung als Koordinatenform eingesetzt und da kommt für r dann dreimal "-2" raus, was doch dann relativ richtig klingt, oder?!
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

kleinen moment, ich muss mir mal eben das durchlesen, was alles vorher geschrieben wurde.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

ok smile
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

so und jetzt mal los:


Du setzt die rechten Seite der Geradengleichung für den Vektor ein:




Das gleich null ist wichtig, damit die Gerade und die Ebene senkrecht zu einander stehen.




so jetzt vereinfache erst einmal. also fasse zusammen. welche drei gleichunegn erhälst du dann?


edit:1 hab noch einen fehler aufgespührt und verbessert bitte noch mal rechnen.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor x der Ebenengleichung wird also sozusagen durch die Geradengleichung ersetzt?

Was soll dieses komische Zeichen bedeuten? Is das sozusagen das "r" was ich hatte?

Ok ich vereinfach mal...
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau das ist der skalar, den du da hast. ich bezeichne es imme rmit griechischen buchstaben.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt für r

3/16, 1/28 und 7/16 raus....

*sehr doll hofft, dass das stimmt...*
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

vereinfache doch diese drei gleichungen erstmal durch zusammenfassen und ausmultiplizieren, jeder reihe für sich.


also zuerst vereinfachst du die 1 reihe, schreibst sie hin und das gleiche machst du mit den anderen beiden.

welche drei gleichungen stehen dann dort?
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hab ich theoretisch getan aber dann war das ERgbnis wohl falsch unglücklich


Also muss ich doch mehr tippen Augenzwinkern
Also deine Gleichung =


das ist =

128 r + 24 = 0
686 r - 24,5 = 0
64 r - 28 = 0

ja und dann ist halt r drei verschiedene ergebnisse die ich dir genannt hab oder auch nicht Hammer
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

musst noch mal eben schauen, hatte noch einen kleinen fehler in der darstellung. rechne bitte noch mal, jetzt sind bei mir alle fehler draußen.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Hä?! Was soll ich denn nochmal rechner *bin verwirrt* hab das doch grad getan is das nun falsch oder nicht?"
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist falsch. soweit ich das nachgerechnet habe. daher solltest du das noch mal nachrechnen.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Wo liegt denn der FEhler?

Ach shit das hat doch kein zweck..stundenlang nur für die a einer aufgabe zu verschwenden unglücklich und euch damit acuh noch zu nerven
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

der fehler lag bei mir vor dem griechischen buchstaben hatte ich ein multiplikationszeichen anstatt ein additionszeichen hinggeschrieben. daher rechne bitte noch mal schnell nach. danach können wir morgen dann aufgabe b und d in angriff nehmen.
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich für r jetzt -2,75, -1,5 und 0,75 raus...
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ich bekomme da jedenfalls für r bzw. =-1,3888888... raus. denn du weißt doch sicherlich, wie man dann das skalarprodukt berechnet?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

sorry leute!
ich möchte kein Spielverderber sein aber dein wert ist leider falsch brunsi.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich mcih da verrechnet?

und wenn ja, wo denn? oder hab ich einen elemntareren fehler in meiner beschreibung bzw. meiner formel gemacht?
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich -1 1/6 raus...
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ist leider noch nicht richtig!
schreibt mal deine rechenschritte hin sonst weiß doch keiner nicht wo deine fehler liegen!
freaky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...





77 + 28 r = 0
42 + 28r =0
-21 + 28r = 0

(77 + 28r) + (42 + 28r) + (-21 + 28r) = 84 r +98
84 r = -98
r = -1 1/6

Man is das viel Arbeit Augenzwinkern
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