Fehler des Mittelwerts von n Elementen vom Mittelwret einer Menge, aus der diese Elemente gezogen wu

01.09.2005, 17:46	Neo_	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler des Mittelwerts von n Elementen vom Mittelwret einer Menge, aus der diese Elemente gezogen wu Hallo, Kann mir jemand bei folgendem Problem helfen? - Ich bin nicht sonderlich fit in Wahrscheinlichkeitsrechnung: Eine Menge besteht aus n Elementen, die einen Wert von z.B. 0 bis 1 annehmen können. Die Elemente dieser Menge haben einen Mittelwert. Aus dieser Menge werden nun m Elemente gezogen und von diesen wieder der Mittelwert gebildet. Wie groß ist nun die Abweichung (Fehler) des Mittelwertes der gezogenen Elemente (m) vom Mittelwert der Mengen-Elemente (n) und wie verändert sich dieser Fehler mit der Anzahl der gezogenen Elemente. Wäre für eine Antwort sehr dankbar. besten Gruß, Neo
01.09.2005, 17:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das ganze einordnen zu können: Wir reden hier vermutlich von einer normalen Stichprobe einer Grundgesamtheit $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit zunächst unbekannter Verteilung (können wir ja später noch spezifizieren). Und die dich interessierende Differenz der Mittelwerte von Gesamt- und Teilstichprobe ist dann natürlich auch eine Zufallsgröße, deren Verteilung allein durch m, n sowie die Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bestimmbar ist.
01.09.2005, 18:17	Neo_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau, wobei die Verteilung der Grundgesamtheit X eine Reihe von Messwerten darstellt, also immer wieder verschieden ist. Bezüglich der Mittelwerte der Mengen n und m geht es um den Fehler des Mittelwertes der Menge m gegenüber des Mittelwertes der Menge n und wie sich dieser Fehler in Abhängigkeit der Anzahl der Elemente in der Menge der gezogenen Elemente verändert - Der Fehler sollte ja immer kleiner werden, je mehr Elemente gezogen werden, bis schließlich alle Elemente aus der ursprünglich Menge gezogen wurden. Ich hoffe es ist nicht zu kompliziert geschrieben. Ich habe bei Wikipedia auch schon eine Formel zur Stichprobe (so etwas hatte ich schon vermutet) gefunden (unter dem Stichwort: Standardabweichung). Darin ist die Gammafunktion enthalten. Auch diese gibt es bei Wikipedia aufgeschlüsselt. Allerdings weiß ich nicht, was ich da genau einsetzen soll. -- Wie gesagt, ist Statistik nicht mein Fach. Neo
01.09.2005, 19:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, du bist Praktiker und nicht so sehr an den Details der Lösung interessiert, sondern mehr am Ergebnis - ist das so? Ich hab mal ein bisschen gerechnet, und bin zu folgendem gekommen: Falls die Grundgesamtheit normalverteilt ist oder aber sowohl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} n-m \end{eqnarray}$ genügend groß sind (größer 10..20 etwa, und damit der Zentrale Grenzwertsatz mit relativ geringem Fehler anwendbar), dann gilt zumindest näherungsweise folgendes: Der Mittelwert der Teilstichprobe ist normalverteilt mit Erwartungswert $\begin{eqnarray} \bar{x} \end{eqnarray}$ (das ist der bekannte Mittelwert der Gesamtstichprobe) und Varianz $\begin{eqnarray} \frac{n-m}{nm}\sigma^2 \end{eqnarray}$ , dabei ist $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ die Varianz der Grundgesamtheit. Letztere sollte also auch noch bekannt sein, oder aber über die Streuung $\begin{eqnarray} s^2 \end{eqnarray}$ der Gesamtstichprobe geschätzt werden. Bei Bedarf poste ich auch noch die Herleitung, aber die ist momentan noch etwas länglich und hat noch eine didaktische Überarbeitung nötig. EDIT: Sch... Tippfehler.
02.09.2005, 10:12	Neo_	Auf diesen Beitrag antworten »
Praktier - geht so. Ich würde sagen Halbpraktiker. Denn die aktuelle Frage stammt aus einer theoretischen Berechnung. Und da ich gerade fest stelle, wie viel Stochastik ich daüfr brauche, werde ich dieses WS auch mal eine Statistik-Vorlesung besuchen. Danke für die Formel. Die Abhängigkeit von der Varianz der Grundgesamtheit ist klar, genau darum geht es. Falls es Dich interessiert habe ich Dir das Gesamtproblem unten kurz skiziiert. Die Herleitung würde mich sehr interessieren. Ein Problem ist nur, dass der Fehler der Teilstichprobe gerade im Bereich von m=10...20 interessant wäre. Ich habe Deine Formel einmal angewendet und die Standardabweichung (also Wurzel aus Deiner Formel) wird bei m>~15 schnell sehr klein. Das ist schon mal ein gutes Ergebnis. besten Dank nochmals! Und hier noch, worum es sich dreht, wenn es Dich interessiert: Ich habe Mineralogie studiert, mit jetziger Ausrichtung Kosmochemie und untersuche Meteorite. Darin gibt es kugelige Objekte (submillimeter groß), die Kristalle enthalten, eingebettet in eine feinkörnige/glasige Matrix. Ein Schnitt durch ein solches Objekt ergbit eine bestimmte Teilfläche von Kristall und Matrix. Die chemische Zusammensetzung von Kristall und Matrix kann mit geeigneten Mitteln leicht bestimmt werden. Damit kann die flächenmäßige Gesamtzusammensetzung des Objekts ermittelt werden. Eine Frage ist, ob diese flächenmäßige Gesamtzusammensetzung repräsentativ ist für die 3-D Gesamtzusammensetzung des Objekts. Dazu habe ich ein Programm geschrieben (Mathematica), das eine Kugel definiert, in die beliebig viele Quader beliebiger Größe, Position und Orientierung hinein definiert werden können. Diese Kugel wird nun von einer Ebene beliebig oft (z.B. 200 mal) geschnitten. Jedes Mal wird die Fläche der Quader und des Restkreises berechnet. Daraus ergibt sich ein Diagramm, das die Variation der Teilflächen von Quader oder Restkreis zeigt. Der Teilfläche von Quader/Restkreis kann nun eine chemische Zusammensetzung zugewiesen werden. Daraus ergibt sich ein neues Diagramm, das die Variation eines chemischen Elements zeigt. Diese Variation bedeutet, würde man den Kreis an der Stelle z schneiden, bekäme man eine Flächengesamtzusammensetzung a. Diese Zusammensetzung hat dann noch eine Standardabweichung vom Mittelwert, der sich ja leicht berechnen lässt. Dieses Programm ist fertig und funktioniert hervorragend. Bezüglich des eben beschriebenen Problems lässt sich auch nicht mehr heraus holen, da jedes kugelige Objekt vom anderen verschieden ist. Es gibt aber ähnliche Probleme, bei denen mehrere Objekte gleich sind. Bei diesen wäre dann interessant, wie viele ich messen muss, um einen verlässlichen Mittelwert zu bekommen. Bei diesem Problem war z.B. bislang die Varianz der Grundgesamtheit nicht bekannt (außer natürlich evtl. Schätzungen). Mit meiner Modellierung kann ich sozusagen eine sehr gute Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit angeben. Hier liegen die Vermutungen jedoch so, dass der Schnitt durch 10-20 Objekte reicht, um eine gute Gesamtzusammensetzung abschätzen zu können. Das ist nun aber der Bereich, von dem Du meintest, dass es eigentlich mehr sein sollten... und da sich in der Richtung noch mehr Probleme auftun, werde ich nun wohl auch mal ein bisschen Statistik hören.

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