Begründung für eine Nullstelle

23.02.2008, 19:54

Begründung für eine Nullstelle

Hi
$\begin{eqnarray*} f_a(x)=4\cdot e^{-x}\cdot(a-e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$
Die Integralfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\int^{x}_{-\ln{a}}~f_a(t)~dt \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} D_{F_a}=[-\ln{a};\infty[ \end{eqnarray*}$

Nun soll ich begründen, warum diese Funktion nur 1 Null-, Extrem- und Wendestelle besitzt und ich muss diese Stellen jeweils angeben.
Zuletzt muss ich eine Skizze mit $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ anfertigen.

Ich habe durch die Funktion $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ , von der ich die Wendestellen, Extremstellen und Nullstellen berechnet und gezeichnet haben, begründet, warum $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ nur eine Extrem- und Wendestelle besitzen kann.
Wie läuft die Argumentation mit der Nullstelle hinaus und wie kann ich diese bestimmen (ohne Rechnungen)?

$\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ sieht folgendermaßen aus:

23.02.2008, 20:00

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede Integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^ag(x)\dd x=0 \end{eqnarray*}$
Damit hast du schon mal die Begründung für eine Nullstelle.

Wieso kann es keine zweite geben?
Das Integral zählt Flächen oberhalb der x-Achse als positiv und Flächen unterhalb als negativ. Das heisst um eine weitere Nullstelle bekommen zu können, muss die Funktion $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ irgendwann mal solange unter der x-Achse bleiben, bis die Fläche unterhalb (negativ) der Fläche oberhalb (positiv) entspricht, denn dann verschwindet das Integral.
Kann das aber vorkommen?
Zeige daher, dass $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ keine weitere Nullstelle hat und damit immer auf einer Seite der x-Achse bleibt.

23.02.2008, 20:02

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründung für eine Nullstelle
$\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in D(F_a)\setminus\{-\log a\} \end{eqnarray*}$ strikt positiv. Damit kann $\begin{eqnarray*} F_a \end{eqnarray*}$ nur eine Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x=-\log a \end{eqnarray*}$ haben.

@PG: warst du bei Erstellung des Postes betrunken oder anderweitig geistig umnebelt?

23.02.2008, 20:03

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

dass $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ eine (innere) Extremstelle besitzt, bezweifle ich einfach mal.

wo die Nullstelle liegt, ist trivial. und da es kein extremum gibt, ist dies auch die einzige nullstelle.

23.02.2008, 20:10

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründung für eine Nullstelle

Zitat:

Original von Dual Space

@PG: warst du bei Erstellung des Postes betrunken oder anderweitig geistig umnebelt?

Vielleicht auch nur gelangweilt Big Laugh

23.02.2008, 21:30

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründung für eine Nullstelle

Zitat:

Original von Dual Space
@PG: warst du bei Erstellung des Postes betrunken oder anderweitig geistig umnebelt?

Was für eine zynisch rhetorische Frage! Teufel

Wenn ich aber ehrlich bin, weiß ich noch immer nicht, warum gerade dort.
Ich habe mir viele Gedanken gemacht und das ist die einzige Teilaufgabe, die ich nicht verstehe. Mit der Nullstelle.
Was hat das mit strikte Positivität zu tun?
Da gibt es andere Beispiele, wo das nicht funktioniert.
Ich zeichne mal sowohl die Integral- und Ursprungsfunktion ein:

Ich glaube mir fehlt nur ein "kleiner Funken" zum Verständnis!

23.02.2008, 22:23

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründung für eine Nullstelle
Ich fragte deshalb, weil kaum ein Satz vollständig bzw. "richtig" war. Lies dir deinen ertsne Post mal durch. Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in(a,b) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)\dd x\geq 0, \end{eqnarray*}$

wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn a=b.

23.02.2008, 22:23

Auf diesen Beitrag antworten »

sry
Nächstes mal bin ich genauer. Aber das liegt an der Zeit.
Kannst du mir bitte weiterhelfen?

edit: aber haben wir in diesem Fall eine Gleichheit beider Integrationsgrenzen? Das kann nicht sein, denn x läuft gegen unendlich und die untere Grenze ist somit kleiner.
Wie kommt man denn nun darauf, dass $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ an der unteren Grenze die Ordinate Null annimmt?

23.02.2008, 22:25

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe meinen (editierten) letzten Post.

23.02.2008, 22:27

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe edit Augenzwinkern

edit:Ich habe es verstanden. Danke

24.02.2008, 07:32

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründung für eine Nullstelle

Zitat:

Original von PG
Die Integralfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} F_a(x)=\int^{x}_{-\ln{a}}~f_a(t)~dt \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} D_{F_a}=[-\ln{a};\infty[ \end{eqnarray*}$

Diese Funktion hat ihre Nullstelle in $\begin{eqnarray*} x=-\ln{a} \end{eqnarray*}$ . Das ist "möglich", weil dieses x im Definitionsbereich liegt.

Dein Argument "x geht gegen unendlich" verstehe ich hier beim besten Willen nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Begründung für eine Nullstelle

Verwandte Themen