BWM 2005 Runde 2

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Bobo Auf diesen Beitrag antworten »
BWM 2005 Runde 2
Zu den Aufgaben des BWM:

Zum geschlossenen Thread:
@Arthur Dent
Es war weder Aufgabenstellung, noch wäre es Lösung gewesen.
Es ging mir um Darstellungsweisen.
Ein Mathematiker der etwas beweisen möchte, fängt ja schließlich auch nicht für jeden Beweis wieder bei den Axionem an. Da solche Sachen im Normalfall nicht in der Schule durchgenommen werden, wollte ich mich eben informieren was für Wege und Mittel es gibt, an die Aufgabe ranzukommen, allein schon durch die Betrachungsweisen.
Da das eben nicht die Lösung der Aufgabe wäre, habe ich mir erlaubt danach zu Fragen. Außerdem gab es auch keine 100% Erfolgsgarantie so an die Lösung zu kommen (auch wenn ich es für wahrscheinlich halte). Weiterhin ist die Weitergabe vor dem 1.September nicht zulässig. Da diese Grenze schon vorbei, ist es zulässig die Aufgabenstellungen zu veröffentlichen.
Insofern halte ich es für keinen Fehler zu sagen, dass es für den BWM war, da um diese Zeit die Poststellen anfangen zu schließen und man in diesen wenigen Minuten und den spärlichen Hinweisen noch eine Lösung aus dem Boden stampfen kann.
(Trotzdem Danke für die Hilfe; Ich würde trotzdem gern noch mehr über diesen Algorithmus erfahren)

Hier die Aufgaben des BWM 2005 Runde 2:

Aufgabe 1:
Zwei Spieler A und B haben auf einem 100x100 - Schachbrett je einen Stein.
Sie ziehen abwechselnd ihren Stein, wobei jeder Zug aus einem Schritt
senkrecht oder waagerecht auf ein Nachbarfeld besteht und A den ersten Zug
ausführt. Zu beginn liegt der Stein von A in der linken unteren Ecke und der
Stein von B in der rechten unteren Ecke.
Man beweise: Der Spieler A kann unabhängig von der Spielzügen des Spielers B
stets nach endlich vielen Zügen das Feld erreichen, auf dem gerade der Stein
von B steht.

Aufgabe 2:
Es sei x eine rationale Zahl.
Man beweise: Es gibt nur endlich viele Tripel (a,b,c) ganzer zahlen mit a<0
und b²-4ac = 5, für die ax²+bx+c positiv ist.

Aufgabe 3:
Zwei Kreise und schneiden sich in A und B. Eine erste Gerade durch B
schneide in C und in E. Eine zweite Gerade durch B schneide in D
und in F; dabei liege B zwischen den Punkten C und E sowie zwischen den
Punkten D unf F. Schließlich seien M und N die Mittelpunkte der Strecken CE
und DF. Man beweise: die Dreiecke ACD, AEF und AMN sind zueinander ähnlich.

Aufgabe 4:
Es sei A(n) die maximale Anzahl der Selbstüberschneidungen von geschlossenen
Streckenzügen ( ), bei denen keine der
Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Man beweise:
a) , falls n ungerade
und
b) , falls n gerade ist.

Erläuterung: Eine Selbstüberschneidung ist ein Schnitt zweier nicht
benachbarter Strecken

viel Spaß beim Tüfteln
Ich bin auf eure Lösungen gespannt

Gruß
Bobo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der bewusste Thread kann ja auch wieder aufgemacht werden, wenn der Einsendeschluss vorüber ist. Und mein Vorgehen war nicht durch meine persönliche Pingeligkeit begründet, sondern gemäß der Boardregeln - da kannst du jeden Moderator hier fragen.
 
 
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich jederzeit unterstützen und das ist nichtmal nötig denn die Regeln sind ja öffentlich für jeden nachlesbar.
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze war auch nicht als Vorwurf an dich gedacht. Du hast absolut richig gehandelt (vielleicht ist das jetzt etwas missverständlich rübergekommen). Es war nur eine Rechtfertigung meinerseits auf das Kommentar
Zitat:
Das war jetzt ein Fehler von dir
.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Aufgaben schon gestern hattest, dann musst du ja auch daran teilgenommen haben. Du kannst ja auch maldeine Lösungen vorstellen. Ich stelle meine die ich auf dem PC geschrieben habe dann nachher mal hier rein(sind auf dem anderen PC und somit komme ich da jetzt nicht ran). Bis auf ein paar Skizzen habt ihr dann alles. Nur die 4.b) hatte mir Probleme bereitet und da auch eigentlich nur der Fall, dass die Punktmenge sich nicht zu einem konvexen n-Eck verbinden lässt, aber das könnt ihr nachher selbst lesen.
Edit:schaffe es leider dieses Wochenende nicht mehr, aber am Montag solltet ihr euch die Lösung dann anschauen können
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab meine Lösungen bewusst nicht reingestellt, da das manchen Leuten die Möglichkeit und Motivation nimmt, sie selber zu lösen.
Ansonsten werde ich meine Lösungen in einem späteren post als Anhang beifügen. (Bei der 4b hatte ich auch keinen Beweis)

Nochmal viel Spaß für die die sich an die Aufgaben ranmachen
Bobo

Edit: Falls irgendjemand die Aufgaben (bevor ich sie poste) lösen möchte, soll bitte bescheid sagen. Sonst poste ich sie morgen rein.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann kriegt ihr hier erst mal die noch nicht überarbeitete Fassung, also für kleine Schönheitsfehler und eventuell ausgelassene Zeichen kann ich nichts, aber die Lösung sollte trotzdem verständlich sein. Auch die Zeichnungen sind nicht drin, wenn es dabei Fragen gibt versuch ich das noch mal etwas genauer zu erkklären. Tut mir Leid, dass ich das ganze Zipen (mag pdf-Format nicht)musste, aber das sollte kein Problem darstellen
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

So dann stell ich mal meine Lösungen zu den Aufgaben 1-3.
Die 4 hab ich ja wie gesagt nicht ganz.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1 hast du ganz schön aufgeschrieben, damit hast du wahrscheinlich nicht das Problem mit irgendwelchen Darstellungsmängeln zur 2.Aufgabe finde ich meinen Ansatz irgendwie etwas schöner und vor allem leichter und sicherer zu formulieren und beim 3. kann ich nur die Hände über dem Kopf zusammenschlagen, man kann doch solch eine leichte Aufgabe nicht analytisch lösen. traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Sciencefreak

Anmerkung zu deiner Lösung von Aufgabe 3:

Eine wirklich schöne und auch klar logisch strukturierte Lösung! Aber dennoch sei eine kleine Kritik gestattet. Im Zusammenhang mit n²-5q² schreibst du "Nun hat jede Zahl nur endlich viele Teiler". Ein boshafter Korrektor sagt an der Stelle "Was ist mit der Zahl Null, die hat unendlich viele Teiler?". Nun kann die Möglichkeit n²-5q²=0 ganz schnell ausgeschlossen werden, da daraus unweigerlich n=q=0 folgen müsste - aber es steht nicht da. Na vielleicht gehen die Korrektoren großzügig drüber hinweg - ich weiß nicht, wie penibel die beim BWM sind. Augenzwinkern
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »


Wie kommst du darauf?

edit: Im Prinzip gehen meine ersten 3 Seiten darum sowas zu zeigen.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

In meiner 3.Zeile habe ich nach dem Hauptähnlichkeitssatz gezeigt, dass 2 Dreiecke Ähnlich sind und nun habe ich Abschnitte in diesen Dreiecken betrachtet. Ein Mal das Verhältnis der Seitenhalbierenden und ein Mal das Verhältnis von den Seiten.
@Arthur:Mist kleiner Denkfehler, aber nichts wirklich ernsthaftes. Ich komme ja so oder so wahrscheinlich nicht weiter, da ich arge Probleme mit der 4.b) gehabt habe
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

wahhh
das ist so plump, dass es schmerz nicht draufgekommen zu sein.

bei der Aufgabe 2 sollte nach dem grenzwert c/n ein Aufrufezeichen über das =, mit meinem Programm hab ich das nicht hinbekommen (habs manuell gemacht).
Bobo Auf diesen Beitrag antworten »

zum board: Wie kann man eigene Posts löschen (beim editieren alles löschen?)

Zum BWM:
Weiß jemand was beim Colloquium genau passiert?
Ich bin bis jetzt immer nur bis zur 2.Runde gekommen.
Daher würde ich gerne wissen was da abläuft und wie es abläuft.

(Vom Chemiewettbewerb hab ich von einem Frwund gehört, dass ihnen Aufgaben gestellt wurden, die sie in einer bestimmten Zeit lösen mussten.)
edit:
Ich hab mich mal schlau gemacht: Nach der 2.ten Runde führt man ein einstündiges Gespräch mit einem Mathematiker. Auf der Basis dieses Gespächs wird entschieden ob man Bundessieger ist oder nicht?
Allerdings wüsste ich trotzdem gerne wie das Gespräch ungefähr abläuft.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bobo
zum board: Wie kann man eigene Posts löschen (beim editieren alles löschen?)

Gar nicht - aber du kannst einen Moderator (am besten per PN) bitten, das für dich zu tun. Lösche aber bitte keine Beiträge, auf die in Folgebeiträgen Bezug genommen wird - wie soll das sonst ein späterer Leser nachvollziehen. Das betrifft auch Fehler, auf die Bezug genommen wird!!!
sebastian_4z Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1: trivial! Augenzwinkern

zu Bobos Lösung von Aufgabe 2:
stimmt nicht, soll aber wohl heißen.

"Da die Intervalle in denen sich x befinden kann für immer größeres |c| und n immer weiter schrumpfen, müssen sie, damit es unendlich viele Tripel a,b,c gibt gegen einen rationalen Grenzwert x laufen."
Wer sagt denn, dass x und |c| gegen Unendlich laufen müssen? Was ist wenn wir n festsetzen und nur c verändern? Dann wird das Intervall für kleinere c immer größer.

Die Grenzwertrechnung habe ich mir nicht genauer angesehen.

zu Sciencefreaks Lösung von Aufgabe 2:
Idee gefällt mir!

zu Sciencefreaks Lösung von Aufgabe 3:
Hast du das auch so knapp abgeschickt? Dann könnten dir die Lagebeziehungen zum Verhängnis werden. Versuche z. B. mal deinen Beweis zu führen, wenn N und B in verschiedenen Halbebenen bzgl. AC liegen.

zu Sciencefreaks Lösung von Aufgabe 4:
Meines Erachtens wird hier sowohl bei a) als auch bei b) nicht bewiesen, dass der konstruierte Streckenzug auch wirklich die geforderte Anzahl von Selbstüberschneidungen aufweist.
Den Beweis, dass bei geradem n nicht mehr als Selbstüberschneidungen auftreten können habe ich mir nicht genauer angesehen.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

zur 3.Aufgabe:
Meine Lösung ist eigentlich immer noch vollständig, nur dass man jetzt bei der einen Winkeldiffernez auf die du wahrscheinlich anspielst eigentlich die Betragsstriche weglassen müsste. Das ist da wirklich ein kleiner Fehler, aber ansonsten ist der gesamte Beweis dadurch nicht beinträchtigt.
zur 4.Aufgabe:
a)ich hatte ja zuerst begründet das es nicht mehr sein können als wenn das so ist und dann die Konstruktion genauso beschrieben, dass ich zu diesem Fall komme. Ich finde so etwas ist nicht das größte Problem, desweiteren habe ich auch in meiner orginalfassung bei der letzten Aufgabe etliche Zeichnungen zur besseren veranschaulichung immmer dort wo diese Lücken im text sind.
b)Die Konstuktion ist wieder mit einem Bild belegt und da muss ich sagen, dass wirklich irgendwie eine stichhaltige Begründung fehlt, aber ich glaube die hatte ich in meiner anderen Fassung drin. Zur Information. Ein nach meinen Angaben konstruierter Streckenzug hat folgende Eigenschaften. Jede Strecke wird von n-4 Strecken geschnitten, dadie Strecken fast diagonal nach gegenüber gehen und nur die eine Strecke die direkt bei der Konstruktion danach gezeichnet wird die Strecke weder schneidet noch einen Eckpunkt mit ihr gemeinsam hat. Der +1 Punkt entsteht dann durch den Schnittpunkt der beiden zuletzt eingezeichneten Strecken, weil diese sich gegenseitig schneiden

Aber ich würde mich wirklich mal über eine andere Lösung freuen, die vielleicht etwas weniger auf der Basis von "das sieht man doch" funktioniert. Vor allem der Teil b) und der Beweis das es nicht mehr als wie angegeben sein können.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte ja nicht drängeln, aber es gibt doch hier sicher jemanden, der hier am Bundeswettbewerb teilgenommen hat oder sich mal die Aufgaben angeschaut hat und die 4.Aufgabe rausbekommen hat. Ich würde zu gerne ein Lösung dafür wissen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Sciencefreak,
ich empfehle dir mal einen Blick hierauf zu werfen: http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/misc/S...sofpolygons.pdf

Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Passt ja wie die Faust aufs Auge. Teufel

Der Länge des Beweises nach zu urteilen wäre die Aufgabe wohl nie zur Olympiade zugelassen worden (es sei denn, es geht auch wesentlich kürzer). Aber das ist wohl der Unterschied zum BWM, bei letzterem hat man ja offenbar Zeit - auch Zeit zum Recherchieren nach solchen Artikeln... smile
sebastian_4z Auf diesen Beitrag antworten »

Die vorläufigen Lösungen der 2. Runde 2005 sind nun online.
sebastian_4z Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr eure Korrekturergebnisse schon erhalten?
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ja habe ich, ich habe leider nur eine Anerkennung bekommen. Hatten mir bei der 1. und 3. leichte Mängel unterstellt und bei der 4. war es mir schon bewusst, dass sie so nicht stimmen kann. Interessant ist, dass ich die gleiche Lösung habe soll, wie jemand, mit dessen Name ich rein gar nichts anfangen kann. Also gibt es doch so etwas wie Telekinese.
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