eine Eigenschaft einer Ultrametrik

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tmo Auf diesen Beitrag antworten »
eine Eigenschaft einer Ultrametrik
auf wikipedia steht zu einer Ultrametrik:

Zitat:
Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel, und der Radius der Kugel ist gleich ihrem Durchmesser. (Marc Krasner, 1944)


nun habe ich das mal so interpretiert:

Der Radius von ist durch definiert.
Der Durchmesser ist durch definiert. Liege ich damit richtig?

Dann würde das nämlich hinkommen: Sei r der Radius.
Dann ist
. Also ist r obere Schranke von . Dass es auch die kleinste obere Schranke ist, ist wegen trivial.

Wie darf ich das mit dem Mittelpunkt interpretieren? Ist ein Mittelpunkt so definiert:
ist Mittelpunkt von ?

Der Beweis sähe dann in etwa so aus:
Sei . Dass obere Schranke von ist, folgt direkt aus dem Beweis zum Durchmesser.
Dass es aber auch die kleinste ist, folgt wegen . damit ist aber entweder oder größergleich , womit die Behauptung folgt.

Denke ich da richtig? Vielen Dank für Antworten im Vorraus Wink
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eine Eigenschaft einer Ultrametrik
Zitat:
Original von tmo
Sei . Dass obere Schranke von ist, folgt direkt aus dem Beweis zum Durchmesser.


Insgesamt wohl richtig gedacht. Von der Formulierung ist allerdings nicht klar, was eine obere Schranke von d(a, y) sein soll (du musst schon die Menge hinschreiben, die du meinst).

Grüße Abakus smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Wie darf ich das mit dem Mittelpunkt interpretieren? Ist ein Mittelpunkt so definiert:
ist Mittelpunkt von ?

Gute Frage. Wie ist eigentlich ein Mittelpunkt einer Kugel in einem metrischen Raum definiert?! *gg*
Also ich würde das allgemeiner so verstehen: Ist Teilmenge eines metrischen Raums , so heißt Mittelpunkt von , falls es ein gibt, sodass oder gilt.

In diesem Fall bei der Ultrametrik gilt, wie du gezeigt hast, sogar die Aussage



für jedes und jedes .
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