3. Wurzel

01.09.2005, 19:53

Kritiker

3. Wurzel

Hi Leute !

Ich bin grad total verwirrt Hammer

Nur eine kurze Bestätigung bitte, aber die $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-64} \end{eqnarray*}$ ist doch -4 oder bin ich jetzt ganz durchgeknallt??????????????

gruß Kritiker

01.09.2005, 19:55

Thales

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RE: 3. Wurzel

Zitat:

Original von Kritiker
Nur eine kurze Bestätigung bitte, aber die $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-64} \end{eqnarray*}$ ist doch -4

Ja. (-4)*(-4)*(-4) = -64

Zitat:

oder bin ich jetzt ganz durchgeknallt??????????????

gruß Kritiker

Nein.

01.09.2005, 21:39

therisen

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Hallo,
das ist leider falsch bzw. hängt von eurer Definition der Wurzel ab, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[p]{a} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert! Andererseits hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=64 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ .

Verschoben nach Algebra

Gruß, therisen

01.09.2005, 21:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von therisen
das ist leider falsch bzw. hängt von eurer Definition der Wurzel ab, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[p]{a} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert!

Da hat mein Taschenrechner eine andere Meinung.

Zitat:

Original von therisen
Andererseits hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=64 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ .

Nein, $\begin{eqnarray*} (-4)^3=-64\neq64 \end{eqnarray*}$ .

01.09.2005, 21:53

therisen

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Hallo $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ,

es sollte natürlich $\begin{eqnarray*} x^2 =64 \end{eqnarray*}$ heißen, da bin ich mit dem Beitrag oben durcheinander gekommen. Dann erhält man x=8 und x=-8.

Zur Definition: Siehe Lehrbuch der Analysis von Harro Heuser

Gruß, therisen

01.09.2005, 21:55

sqrt(2)

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An das Buch komme ich leider nicht so ohne Weiteres heran. Könntest du mir den Gefallen tun und die entsprechende Stelle hier reinstellen? Das würde mich jetzt wirklich interessieren...

01.09.2005, 22:01

therisen

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Klar:

Satz und Definition. Ist $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^p=a \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Diese wird mit $\begin{eqnarray*} a^\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt[p] a \end{eqnarray*}$ bezeichnet und die p-te Wurzel aus a genannt.

Gruß, therisen

01.09.2005, 22:17

sqrt(2)

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Dann fragt sich nur, wie man die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=-33 \end{eqnarray*}$ dann darstellen soll...

Desweiteren scheint es mir, als scheint bei dieser Definition eine Eingrenzung des Definitionsbereich im Kontext als sinnvoll gesehen werden, denn andernfalls ist der Satz

Zitat:

Original von therisen
Ist $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^p=a \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

einfach falsch...

01.09.2005, 22:47

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Dann fragt sich nur, wie man die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=-33 \end{eqnarray*}$ dann darstellen soll...

Ganz einfach: $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt[3]{33} \end{eqnarray*}$ .

Bei mir ist ganz klar $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-33}=\sqrt[3]{33}\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ , also der Hauptwert der komplexen Wurzel.

01.09.2005, 22:56

sqrt(2)

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Ah, im Zusammenhang mit komplexen Zahlen ergibt das natürlich Sinn... Komisch nur, dass mein Taschenrechner auch im Modus für komplexe Zahlen behauptet, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-64}=-4 \end{eqnarray*}$ . Sehen die Amerikaner oder Japaner das vielleicht anders als Herr Heuser?

01.09.2005, 23:42

Leopold

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siehe auch hier

01.09.2005, 23:45

sqrt(2)

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Alles klar, dankeschön.

01.09.2005, 23:56

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Bei mir ist ganz klar $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-33}=\sqrt[3]{33}\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ , also der Hauptwert der komplexen Wurzel.

Bis auf die Tatsache, daß der Hauptwert der dritten Wurzel gerade für Zahlen vom Argument $\begin{eqnarray*} \pm \pi \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. So kenne ich das jedenfalls. Und die Entscheidung für das Pluszeichen vor dem Imaginärteil ist ja relativ willkürlich. Genausogut könnt man

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-33}=\sqrt[3]{33}\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

festlegen.

02.09.2005, 00:37

Bobo

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Ein passendes Beispiel für die irreleitung durch die Potenzgesetze wär sqrt(2) 's Signatur.

Aber um nochmal sicherzugehen
$\begin{eqnarray*} -1 = \sqrt[3]{-1}; \end{eqnarray*}$
stimmt das denn soweit?
es gilt doch auch:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1}= \frac {1\pm i\sqrt{3}} 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1=\sqrt[3]{-1}= \frac {1\pm i\sqrt{3}} 2 \end{eqnarray*}$
bedeutet das nicht eine reele Zahl ist eine komplexe Zahl

02.09.2005, 07:20

Leopold

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siehe auch diese Diskussion

02.09.2005, 10:09

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Zitat:

Original von Leopold
Bis auf die Tatsache, daß der Hauptwert der dritten Wurzel gerade für Zahlen vom Argument $\begin{eqnarray*} \pm \pi \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. So kenne ich das jedenfalls.

Kenne ich eben anders: In dem Fall wird $\begin{eqnarray*} +\pi \end{eqnarray*}$ genommen. Ist natürlich eine willkürliche Festlegung, aber das sind ja Festlegungen zur Argument-Eindeutigkeit immer, ob nun $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ...

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