noch ne Fourierreihe

01.09.2005, 21:39

ReneS79

noch ne Fourierreihe

Erstma thx an yeti777 für seinen letzten Beitrag. Leider habe ich schonwieder ein kleinen Hänger bei folgender Aufgabe, obwohl mir das eigentlich eingeleuchtet hat, was ihr mir da so erzählt habt.

$\begin{eqnarray*} f(t)=cos (wt) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\in[-2s,2s) \end{eqnarray*}$

Was heisst das jetzt? Mit diesem Intervallzeugs komme ich jetzt nicht ganz klar. Heisst das, das ich von -2s bis x>2s die Fourierreihe bestimmen muss? Oder hat das nichts zu sagen.
Wenn das nichts zu sagen hat, dann würde ich nämlich zwischen folgende Grenzen setzen.

Für $\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{\frac{T}{2}}*(\int_{-2}^{2}~4*cos(wt)~dt+2* \int_{2}^{4}~0*cos(wt)~dt) \end{eqnarray*}$

Problem ist aber wieder dieses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{T}{2}} \end{eqnarray*}$ . Dadurch entsteht meiner Meinung nach wieder die doppelte Amplitude wie in der Lösung. Oder kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \end{eqnarray*}$ da hin? Aber eigentlich bestimme ich ja wieder zwischen $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\pi \end{eqnarray*}$ , was umgesetzt auf T ja -(T/2) bis +(T/2) entspricht. Deswegen die T/2 im Nenner.

Sollte ich mich da jetzt irren?

Danke
Rene

01.09.2005, 21:43

sqrt(2)

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Zur Klärung: Feine Funktion ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ definiert als

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\cos x&x\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\0&\mathrm{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Und: Wo genau liegt dein Problem?

01.09.2005, 22:22

ReneS79

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Is noch was dazugekommen. bin erst zu auf die falsche Schaltfläche gekommen Hammer

01.09.2005, 22:37

sqrt(2)

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Irgendwie ist deine Aufgabenangabe wirr. Einerseits hast du eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos \omega t \end{eqnarray*}$ mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (in der Zeichnung könnte das $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos \frac{\pi x}{4} \end{eqnarray*}$ sein), andererseits ein festes Intervall $\begin{eqnarray*} [-2,2] \end{eqnarray*}$ und schließlich noch eine aus der Zeichnung abzulesende Konstante $\begin{eqnarray*} T=8 \end{eqnarray*}$ .

Kannst du den kompletten Aufgabentext 1:1 hier reinstellen?

01.09.2005, 22:48

ReneS79

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Japp. Mach ich doch glatt.

Aufgabenstellung: Entwickeln Sie die gegebenen periodischen Funktionen in Fourierreihen! Geben Sie die ersten vier Summenden sowie die Summenformel an!

Viel mehr ist da nicht dazu. Habe auch nochma die Orginalzeichnung mit angehängt.

Achso, das $\begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{w} \end{eqnarray*}$ spielt hierbei auch noch ne Rolle denke ich.

gruss
Rene

01.09.2005, 23:11

sqrt(2)

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Sieht also so aus, als solltest du das für $\begin{eqnarray*} \omega=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ machen. Der Integrationsbereich ist also $\begin{eqnarray*} T=8 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(t)=\begin{cases}\cos \frac{\pi t}{4}&t\in[-2,2]\\0&\mathrm{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ (über dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-4,4] \end{eqnarray*}$ , darüberhinaus periodisch fortgesetzt)

Die Formeln für die Koeffizienten lauten dann:

$\begin{eqnarray*} a_0&=&\frac{2}{T}\int_0^T~f(t)~\dd t\\a_n&=&\frac{2}{T}\int_0^T~f(t)\cos\frac{2\pi t}{T}~\dd t \end{eqnarray*}$

02.09.2005, 01:26

ReneS79

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Also so ähnlich wie ich das schon oben hatte dann, oder?

$\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{2}{T}*(\int_{-2}^{2}~4*\cos \frac{\pi t}{4}~dt+2* \int_{2}^{4}~0*\cos \frac{\pi t}{4}~dt) \end{eqnarray*}$

Rauskommen soll...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{\pi}+2*cos \frac{\pi}{4}t+ \frac{8}{\pi}*( \frac{1}{3}cos \frac{\pi}{2}t+ \frac{1}{15}cos \pi t+\frac{1}{35}cos \frac{3}{2}\pi t + ...) \end{eqnarray*}$

Irgendwie muss ich bei a(0) auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt mit meiner Formel rechne, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{8}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Ganz genau komme ich mit dieser Formel auf $\begin{eqnarray*} \frac{16}{wT}*(sin(2w)) \end{eqnarray*}$

Was ja wieder der doppelten Amplitude entspricht.

verwirrt

gruss
Rene

02.09.2005, 01:34

sqrt(2)

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Zitat:

Original von ReneS79
Irgendwie muss ich bei a(0) auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt mit meiner Formel rechne, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{8}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Ich komme auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{8}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Das kann auch daran liegen, wie $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Bei mir so:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=0}^\infty a_k \cos \frac{2\pi kt}{T} + \sum_{k=0}^\infty b_k \sin \frac{2\pi kt}{T} \end{eqnarray*}$

02.09.2005, 15:16

ReneS79

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Hey danke erstma für diese Aufgabe. Damit werde ich mich später nochma beschäftigen.

Habe aber nochma ne andere, bei der du/ihr ma kontrollieren müsst, ob sich bei der Rechnung ein kleiner Fehler bei mir eingeschlichen hat. Irgendwie weicht ein Teil des Erg. ein wenig ab.

$\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{2\pi}(\int_{0}^{\pi}~\frac{4}{\pi}*x~dx + \int_{\pi}^{2\pi}~4~dx) \end{eqnarray*}$

Was nach auflösen für $\begin{eqnarray*} a(0)=3 \end{eqnarray*}$ ergeben müsste.

$\begin{eqnarray*} a(k) \end{eqnarray*}$ lasse ich jetzt erstma weg, da dieses eigentlich nur auf ein komsiches Vorzeichen hin stimmt.

$\begin{eqnarray*} b(k) \end{eqnarray*}$ ist mein Prob.

$\begin{eqnarray*} b(k)=\frac{1}{\pi}(\int_{0}^{\pi}~\frac{4}{\pi}x*sin(kx)~dx + \int_{\pi}^{2\pi}~4*sin(kx)~dx) \end{eqnarray*}$

Nach auflöserei komme ich sowohl für gerade als auch für ungerade k auf $\begin{eqnarray*} b(k)=-\frac{4}{\pi*k} \end{eqnarray*}$

Das alles jetzt in eine Reihe gemacht ( ohne a(k) )....

$\begin{eqnarray*} f(x)=3-\frac{4}{\pi}*(sin(\frac{\pi}{5}t)+\frac{1}{2}*sin(2\frac{\pi}{5}t)+\frac{1}{3}*sin(2\frac{\pi}{5}t)+...) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis in der Lösung lautet folgendermasen
$\begin{eqnarray*} f(x)=4mA*(\frac{4}{3}-\frac{1}{\pi}*(sin(\frac{\pi}{5}t)+sin(2\frac{\pi}{5}t)+sin(3\frac{\pi}{5}t)+...)) \end{eqnarray*}$

Auffällig, das in der Klammer vorm sin die 1/2 und 1/3 fehlen und vor der Klammer diese $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ . Keine Ahnung wo die herkommen. Ich dachte ja, das hier eigentlich nur die 4 ausgeklammert wurde, aber dann müsste es ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein.

Wer kann mir da ma weiterhelfen? Denke mal, das der Rechenweg soweit stimmt. Entweder ist es eine Umformungssache die ich jetzt nicht erkenne oder doch ein kleiner Fehler.

Danke
Rene

02.09.2005, 20:23

yeti777

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Hallo René!

Deine Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_0=3 \end{eqnarray*}$ ist richtig und auch plausibel. Das ist nämlich der Gleichstromanteil des angegebenen Stromverlaufs.

Hingegen kann ich die angegebene Lösung, die nur sin-Anteile enthält, nicht nachvollziehen. Die zur Diskussion stehende periodische Funktion (Periode = 10 [ms]) ist weder gerade, noch ungerade. Also müsste sie doch cos- und sin-Anteile enthalten.

Die von dir berechneten sin-Koeffizienten, soweit sie angegeben sind, sind korrekt. Allerdings muss es im 3. Summanden $\begin{eqnarray*} \sin(3*\frac{\pi}{5} t) \end{eqnarray*}$ heissen (Schreibfehler?).

Rechne doch mal die cos-Koeffizienten aus. Ich habe die FOURIER-Reihe berechnet, möchte aber meine Ergebnisse nicht vor den deinigen posten.

Ich hänge ein Bild an, dass die Approximation der gegebenen Funktion mit einem FOURIER-Polynom vom Grad 30 zeigt.

Gruss yeti

02.09.2005, 21:17

ReneS79

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So, ja. Hier mal mein komplettes Ergebnis, so wie ich das jetzt errechnet habe. Das eine war übrigens nur ein Schreibfehler. SORRY Hammer

$\begin{eqnarray*} f(x)=3-\frac{4}{\pi}*(sin(\frac{\pi}{5}t)+\frac{1}{2}*sin(2\frac{\pi}{5}t)+\frac{1}{3}*sin(3\frac{\pi}{5}t)+...)-\frac{8}{\pi^2}*(cos(\frac{\pi}{5}t)+ \frac{1}{9}cos(3 \frac{\pi}{5})+\frac{1}{25}cos(5 \frac{\pi}{5})+...) \end{eqnarray*}$

Und jetzt das Erg. so wie's auf der Lösung steht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=4mA*(\frac{4}{3}-\frac{1}{\pi}*(sin(\frac{\pi}{5}t)+sin(2\frac{\pi}{5}t)+sin(3\frac{\pi}{5}t)+...))+4mA*(\frac{2}{\pi^2}*(cos(\frac{\pi}{5}t)+ \frac{1}{9}cos(3 \frac{\pi}{5})+\frac{1}{15}cos(5 \frac{\pi}{5})+...)) \end{eqnarray*}$

Teils stimmts überein, teils irgendwie nicht. Wie oben schon geschrieben...

...Auffällig, das in der Klammer vorm $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ die 1/2 und 1/3 fehlen und vor der Klammer diese $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ . Keine Ahnung wo die herkommen. Ich dachte ja, das hier eigentlich nur die 4 ausgeklammert wurde, aber dann müsste es ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein. Dann kommt noch das Vorzeichen zwischen sin und cos - Teil dazu und im cos - Teil habe ich einmal 1/25 anstatt den 1/15 raus.

Musst du mal mit deinem Erg. vergleichen. Vielleicht habe ich zwischendurch einen Fehler gemacht oder das Erg. auf der Lsg. ist falsch.

Danke und gruss
René

02.09.2005, 22:00

yeti777

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Hallo René!

Jetzt sind wir schon zwei, die dasselbe Ergebnis haben: Beide falsch oder beide richtig verwirrt

! Spass beiseite! Ich denke, dass wir beide richtig gerechnet haben. Das zeiget schon die Grafik, die ich im letzten Post angehängt habe. So wie es aussieht, hast du es jetzt geschnallt Freude

.

Im Anhang noch meine Koeffizienten, oben cos-Koeff's, unten sin-Koeff's, k = 0, 1, 2, 3, ....

Gruss yeti

03.09.2005, 16:42

ReneS79

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Naja, geschnallt. Wenn ich das mit den Grenzen richtig schnalle, dann habs ich's wohl richtig geschnallt. Habe ja noch ein paar Ü-Aufgaben dazu. Wenn ich nicht mehr weiterkomme, dann melde ich mich bestimmt wieder.

Erstma vielen Dank für deine Hilfe. Prost

gruss
René

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