Unendlich viele Lösg. im LGS/Matrix

24.02.2008, 13:30

schnupsi

Unendlich viele Lösg. im LGS/Matrix

Hallo!

Ist es richtig, dass wenn man einen Aufpunkttest eines Punktes auf einer Ebene macht, und dort dann bei dem LGS bzw. der Matrix unendlich viele Lösungen (also = linear abhängig) rauskommen, der Punkt in der Ebene liegt?

24.02.2008, 13:35

Bjoern1982

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Das wäre etwas komisch...denn wenn der Punkt ein Punkt der Ebene sein sollte, muss es ja eindeutige Werte für die beiden Parameter geben (genau eine Lösung) und wenn der Punkt nicht in der Ebene liegt muss es zu einer falschen Aussage im LGS kommen.

Gruß Björn

24.02.2008, 13:44

schnupsi

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Und was ist es dann?

Die Aufgabe lautete:
Zeige: Die Punkte P(3|0|5) und Q(0|3|2) liegen sowohl in der Ebene E1 als auch in E2.
$\begin{eqnarray*} E1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}; E2: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.02.2008, 13:57

Bjoern1982

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Jetzt kann man auch nachvollziehen was du evtl mit den unendlich viele Lösungen meinen könnest Augenzwinkern

Wenn P1 und P2 in beiden Ebenen liegen sollten, dann kann das nur sein wenn diese Ebenen identisch sind oder sie sich in einer Schnittgeraden schneiden, die identisch mit der Geraden durch P und Q sind.

Deshalb solltest du hier die Ebenen gleichsetzen und das LGS lösen.
Auf welche Lösung kommst du ?

24.02.2008, 13:59

schnupsi

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Also darf ich hier für die Lösung gar nicht P und Q jeweils mit den beiden Ebenen gleichsetzen? also Aufpunkttest?

Dann probier ich es eben mit Gleichsetzen.

24.02.2008, 14:02

Bjoern1982

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Du kannst natürlich auch 4 von deinen Aufpunkttests durchführen - ist nur unter Umständen etwas aufwändiger.

24.02.2008, 14:24

schnupsi

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ohje.. jetzt blick ich gleich gar nicht mehr durch.
habe E1 und E2 gleichgesetzt und dann LGS. also:
E1 = E2 (hier parameter k und l)
dann äquivalenzumformung: alle parameter nach rechts:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} - v \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I 3 = -k -4 l + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -2v
II -2 = 3 l - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ +2v
III -1 = -3 l + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ + v

-> II $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 3 l + 2v +2
-> III v = -3 l + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ + 1

III in II:
=> $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 3/7 l - 4/7

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in III:
=> v = -9/7 l - 9/7

dann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und v in I:
=> 1 = -k -l
<=> k = -l -1

und jetzt?

24.02.2008, 14:35

Bjoern1982

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Zitat:

-> II $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 3 l + 2v +2
-> III v = -3 l + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ + 1

Hast du hier nicht falsch nach v aufgelöst (Vorzeichen) ?

24.02.2008, 14:42

schnupsi

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ja, ok.
dann bekomme ich am ende, wo ich lamda und v in I einsetze:
=> 3 = -k + l
<=> k = l - 3

bringt mich aber auch nicht weiter..

oder soll ich k dann jetzt in E2 einsetzen? dann würde ich eine schnitgerade doch rausbekommen, oder?

24.02.2008, 14:48

Bjoern1982

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Zitat:

I 3 = -k -4 l + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -2v
II -2 = 3 l - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ +2v
III -1 = -3 l + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ + v

Am Einfachsten wäre es wohl gewesen die 2. und 3. Gleichung zu addieren, so dass die Variable l wegfällt und man nach lambda auflösen kann, um das dann in die Ebene 2 einzusetzen, wodurch man eine Schnittgerade erhält, die identisch mit der Geraden durch P und Q ist.

Zitat:

oder soll ich k dann jetzt in E2 einsetzen? dann würde ich eine schnitgerade doch rausbekommen, oder?

Wenn keine Rechen- oder Umformungsfehler passiert sind sollte das auch mit k und l klappen - also ja smile

24.02.2008, 14:53

schnupsi

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also wenn ich k jetzt in E2 einsetze, dann bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun P einsetze, erhalte ich bei
I l = -1/5
II l = -1
III l = -1

heißt es, dass ich da dann irgendwo ein fehler gemacht habe?

24.02.2008, 15:04

Bjoern1982

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Scheint so...ich kann nochmal drüber gucken ob ich was entdecke...ansonsten probiere doch mal meinen Weg, vielleicht klappts da besser.

24.02.2008, 15:10

schnupsi

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hm.. deinen weg kann ich nicht nachvollziehen..

24.02.2008, 15:16

Bjoern1982

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Was denn genau nicht ?

Ist quasi ja dasselbe wie bei dir, nur dass ich durch das Additionsverfahren eine Gleichung erzeuge, die nur noch v und lambda beinhaltet und wenn ich diese Gleichung dann nach lambda auflöse und in die Ebene 2 einsetze, die ja als Parameter v und lambda enthält, dann erhalte ich ja eine nur noch von v abhängige Gerade.

Du vermeidest bei deiner Vorgehensweise eben diese Addition der beiden Gleichungen und versuchst alles irgendwo einzusetzen, was dann eben auch mal zu Rechenfehlern führen kann.

24.02.2008, 15:20

schnupsi

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habe auch bis lamda aufgelöst. dann sagst du ja, ich solle dieses lamda in E2 einsetzen. da liegt mein problem, weil bei der 2. ebene habe ich ja seit dem gleichsetzen als parameter k und l
also meinst du vielleicht, ich solle lamda in E1 einsetzen?

24.02.2008, 15:26

Bjoern1982

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Ja genau, hast du recht, habe ich wohl auf die falschen Ebenen geguckt...irgendwo oben stand das noch anders und unten hattest du dann geschrieben, dass du in E2 k und l als Parameter wählst. Ja, dann mache es halt so =)
Kann sein dass dann auch keine gemeinsame Schnittgerade rauskommt und das vorhin bei mir nur Zufall war, dass das alle aufgegangen ist verwirrt

24.02.2008, 15:30

schnupsi

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habe lamda nun in E1 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-\lambda -1) \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dies wäre dann meine schnittgerade..
hmm.. ist jetzt aber keineswegs eine lösung oder?

24.02.2008, 15:31

schnupsi

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oder doch, wenn jetzt noch der aufpunkjttest mit P und Q klappen würde?

24.02.2008, 15:34

schnupsi

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ja.. es klappt, also P ist ja gleich der stützverktor der schnittgeraden und Q liegt ebenfalls auf der geraden,.. also habe ich so jetzt nachgewisen, dass die beiden punkte in der ebene liegen?

24.02.2008, 15:35

Bjoern1982

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Habe es gerade auch nochmal gerechnet und ich komme auf dasselbe wie du smile

Und da P als Aufpunkt auf jeden Fall ein Punkt der Schnittgeraden ist und auch der Richtungsvektor dem Verbindungsvektor PQ entspricht, ist bewiesen, dass P und Q sowohl in E1 als auch in E2 liegen, nämlich auf deren Schnittgeraden.

24.02.2008, 15:39

schnupsi

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oh super.. vielen vielen dank!! smile

24.02.2008, 15:43

Bjoern1982

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Keine Ursache...viel Erfolg noch Wink

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