Fläche vom Dreieck

24.02.2008, 19:37

Rare676

Fläche vom Dreieck

Hey,

Ich habe hier ein whrsl einfaches Problem, sehe aber wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Ich soll die Fläche eines 15-Ecks berechnen, dass aus gleichschenkligen Dreiecken (Anhang) zusammengesetzt ist. Also berechnet man natürlich zunächst eine Dreiecksfläche.

Nur(!) r ist gegeben.

Meine Ansätze gingen über Pythagoras und Trigonometrie...
Hab mich aber immer im Kreis gedreht.

Wäre schön, wenn mir jemand nen schönen Ansatz gibt.

Edit: Es soll in der Zeichnung natürlich $\begin{eqnarray*} h_s \end{eqnarray*}$ heißen...

24.02.2008, 19:46

riwe

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RE: Fläche vom Dreieck
$\begin{eqnarray*} A_\Delta=\frac{r²}{2}sin\frac{2\pi}{15} \end{eqnarray*}$

oder so in etwa, du kannst doch ganz einfach den winkel im scheitel des gleichschenkeligen dreiecks bestimmen, oder verwirrt

24.02.2008, 19:48

Musti

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RE: Fläche vom Dreieck
Du kennst ja die Winkeln des Dreiecks.

Da die Höhe hc das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilt, kannst du die Beziehung $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\frac{s}{r} \end{eqnarray*}$ benutzen um an s zu kommen.
Dementsprechend kannst du auch die Höhe h bestimmen.

Aber kann sein dass ich mich täusche, weil mein Weg grad ein wenig zu einfach ausschaut. verwirrt

24.02.2008, 19:56

Leopold

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Und wer's lieber in Wurzeln hat:

$\begin{eqnarray*} A_{15} = \frac{15}{16} \left( \sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} \right) \cdot r^2 \approx 3{,}05 \, r^2 < \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Der Faktor wurde über $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{15} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} \end{eqnarray*}$ und das Additionstheorem des Sinus ermittelt. Die Sinus- und Cosinuswerte der Summanden sind ja allseits bekannt.

24.02.2008, 20:00

Rare676

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RE: Fläche vom Dreieck
Woher soll ich denn die Winkel kennen? die sind nicht gegeben. Ich hab wohl wirklich nen Brett vorm Kopf, wenn das so einfach ist.

das s bezieht sich übrigens auf die ganze Grundseite zu $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ .

also meinst du $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=(s/(2r)) \end{eqnarray*}$

Das hatte ich schon lang und breit ausporbiert...

Aber ohne die Winkel komme ich da schlecht weiter...ist ja nur gleichschenklig und nicht gleichseitig.

24.02.2008, 20:24

riwe

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RE: Fläche vom Dreieck

Zitat:

Original von Rare676
Woher soll ich denn die Winkel kennen? die sind nicht gegeben. Ich hab wohl wirklich nen Brett vorm Kopf, wenn das so einfach ist.

das s bezieht sich übrigens auf die ganze Grundseite zu $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ .

also meinst du $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=(s/(2r)) \end{eqnarray*}$

Das hatte ich schon lang und breit ausporbiert...

Aber ohne die Winkel komme ich da schlecht weiter...ist ja nur gleichschenklig und nicht gleichseitig.

bei einem regelmäßigen Sechseck ist der Scheitelwinkel wie groß verwirrt

und bei einem 15-eck hat es Leopold eh schon hingeschrieben.

brett ole Freude

24.02.2008, 21:08

Rare676

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ahh, natürlich danke. Jetzt geht mir nen Licht auf Augenzwinkern

Vielen Dank Freude

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