Anfangsaufgaben zur Stochastik

03.09.2005, 13:36

Lazarus

Anfangsaufgaben zur Stochastik

Hi leute!

ich bin im moment gerade dabei mir selbst das thema stochastik zu erarbeiten.

habe gerade erst angefangen, daher ist das alles noch ein bisschen neu für mich.
nachdem ich ein bisschen in einem lehrbuch der stochastik rumgelesen hatte, beschloss ich die dort angegebenen übungen zu machen, allerdings musste ich feststellen das es hinten im buch keine lösungen dafür gibt, bzw in der bibliothek (wo ich das buch herhab) kein lösungbuch zu finden war.

daher wende ich mich an euch, das ihr mir bitte meine lösungsversuche kontrolliert !

also hier die aufgaben:
Für die folgenden Vorgänge gebe man die Ergebnismenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ an:

1) Eine Münze mit unerscheidbaren Seiten und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen; beobachtet wird, welche seite der münze oben liegt und welche Augenzahl der Würfel zeigt.

meine lösung:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{(\alpha_w ; \beta_m),\alpha_w \in \{1,2,3,4,5,6\} ; \beta_m \in \{\text{Kopf },\text {Zahl }\}\} \end{eqnarray*}$

2)Zwei nicht unterscheidbare Würfel werden gleichzeitig geworfen; beobachtet wird die Augenzahl der beiden Würfel

meine lösung:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{(\alpha_1+\alpha_2);\alpha_{1,2} \in \{1,2,3,4,5,6\}\} \end{eqnarray*}$

3) Bei einer Ziehung der Lotterie "6 aus 49" werden aus den Zahlen 1,...,49 sechs zahlen gezogen.

meine lösung:
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\alpha_{1,...,6} ; \alpha_{1,...,6} \in \{1,2, ... , 48,49\} \} \end{eqnarray*}$

soviel zum thema ergebnismenge..

nun mal paar ereignisse:
4)Zwei unterscheidbare Würfel werdne gleichzeitig geworfen; beobachtet wird, welche Augenzahl jeder der beiden Würfel zeigt.
die Ereignisse seine:

A = {Der erste würfel zeigt eine 6}
B = {Genau einer der beiden würfel zeigt eine 6}

Man beschreibe die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A \cup B ; A \cap B ; \bar{B} \end{eqnarray*}$ mit Worten und gebe die Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ an, die die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A,B, A\cup B , A \cap B \text{ und } \bar{B} \end{eqnarray*}$ darstellen [anmerkung: $\begin{eqnarray*} \bar{B} \end{eqnarray*}$ bedeutet "komplement zu B" falls jemand andere zeichen dafür kennt.

meine lösung:
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\alpha_1 ; \alpha_2) ; \alpha_{1,2} \in \{1,...,6\}\} \end{eqnarray*}$
beschreibung in worten: da $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ ist, ergiebt sich für $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \bar{B} \end{eqnarray*}$ sind alle Ergebnisse bei denen keiner der beiden würfel sechse augen aufweist.

in teilmengen von omega:
$\begin{eqnarray*} A =\{ \Omega | \alpha_1 = 6\} = A \cap B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B =\{ \Omega | \exists \alpha = 6 \}= A \cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{B} = \{\Omega | \forall \alpha \neq 6\} \end{eqnarray*}$

des wärs erstmal, hab heute morgen ned mehr geschafft ...

wie siehts bisher aus ?
[besonders bei der letzten.. stimmt da überall die schreibweise ?]

servus

03.09.2005, 13:54

JochenX

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fangen wir mir den ergebnismengen an:

1) deine variablen heißen vorne anders als hinten, unbedingt korrigieren
ansonsten kannst du das so angeben; b={kopf,zahl} wäre natürlich auch möglich, du assoziierst das gleich mit 1, 2

2) wieso hast du da plötzlich eine summe? das ist falsch
du hast hier wieder 2-tupel; diese kannst du aufgrund der ununterscheidbarkeit ordnen; z.b. so, dass die erste zahl <= der zweiten ist
da musst noch mal ran!

3) hier sollte wieder ein 6-tupel sein!
beachte aber, dass hier eine zahl nicht doppelt fallen darf!
außerdem brauchst du wieder eine ordnung, damit du nicht 6-tupel mehrfach angibst
dass errecisht du z.b. damit, dass du die elemente mit < (echtkleiner! hier!) anordnest
also noch mal ran!

erst mal soweit

edit: na gut, doch noch ein edit
passe auf bei der nächsten: A teilmenge B ist falsch
(6,6) erfüllt A, aber nicht B

03.09.2005, 14:14

Lazarus

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ok zu eins: des mit den variablen hab ich geändert und des mit kopf-zahl auch klarer gemacht.

2) ich dachte es geht um die augenzahl beider würfel, im sinne von "beider würfel zusammen", und das wäre dann ja nur eine zahl oder ?
warum denkst du, dass das nicht gemeint ist sondern jeder würfel einzeln?

3)ich hab doch versucht das 6-fach tupel darzustellen als $\begin{eqnarray*} \alpha_{1-6} \end{eqnarray*}$ die tatsache das die zahlen nicht doppelt kommen beim lotto, daran hab ich überhauptnicht gedacht Hammer

tut mir leid, ich verstehe nicht ganz wie du des meinst mit dem anordnen der größe nach. bzw ich weiß ned wie ich des ausdrücken soll.
//edit: ich hab mal nen versuch gestartet, so wies mir logisch erscheint, der steht am ende dieses postes Augenzwinkern

zu 4) auch das habe ich nicht bedacht, da werd ich mich nochmal hinsetzten.

aber würde sowas als erklärung durch worte zählen ?
die zeichen sind ja lediglich abkürzungen oder ?

danke für deine hilfe @loed

servus

//edit: versuch nummer 2 für aufgabe nummer 3:

"6 aus 49":
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\alpha_{1} < \alpha_{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\alpha_{5}<\alpha_{6} \; ; \alpha_{1,...,6} \in \{1,2, ... , 48,49\} \} \end{eqnarray*}$

03.09.2005, 14:58

JochenX

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{\alpha_{1} < \alpha_{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\alpha_{5}<\alpha_{6} \; ; \alpha_{1,...,6} \in \{1,2, ... , 48,49\} \} \end{eqnarray*}$

da fehlt noch was:
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{(\alpha_{1},\alpha_{2}\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5},\alpha_{6}) | (\alpha_{1} < \alpha_{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\alpha_{5}<\alpha_{6} \; ; \alpha_{1,...,6} \in \{1,2, ... , 48,49\} \} \end{eqnarray*}$
ansonsten ist das so gut

beachte, dass diese indizes bei 1) zwar schön sind, aber alpha und alpha_w einfach immer noch unterschiedliche namen sind!

zu 2) augensumme ist der übliche begriff für das, was du da sagst
wäre hier übrigens augensumme gemeint, könntest du die viel einfachere darstellung $\begin{eqnarray*} \Omega={2,...,12} \end{eqnarray*}$ wählen.....
bei augenzahl (womit ich eben ein paar aus augenzahlen vermute) könntest du das natürlich aufziehen wie bei 1)

übrigens sollten erklärungen in worten auch tatsächlich mit worten sein, nicht mit mathematischen mengen, symbolen etc.
4) z.b. das mit dem A vereinigt B:
entweder würfel A oder genau einer von beiden zeigt eine 6
oder auch: entweder A zeigt 6 oder aber B zeigt 6 und A nicht

wie du willst, in worten gibt es viele möglichkeiten

Bquer z.b. wäre: "beide oder kein würfel zeigen 6", wobei natürlich auch das unschöne "nicht genau ein würfel zeigt 6" nicht falsch wäre Augenzwinkern

03.09.2005, 15:44

Lazarus

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1) hab das auchnoch geändert, der genauigkeit zuliebe. hast ja recht Augenzwinkern

2) ich war mir da nicht so ganz sicher, aber als ich dann bei der 4 gelesen hab, "beobachtet wird die augenzahl, die jeder würfel einzeln zeigt" hab ich mir gedacht, wenn das da unten so betont ist, und hier oben eigentltich mehr das "beide" hervorgehoben wird, müsste das doch eher beide zusammen heißen.

aber das mit der augensumme klingt sehr einleuchtend.

3) ja das fehlt noch...

nächster versuch zur 4:

$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ : beide würfel können alles zeigen was sie wollen, aber mindestens einer muss eine 6 zeigen! $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ : es muss nur der erste würfel 6 zeigen, der zweite darf alles nur keine 6 zeigen
$\begin{eqnarray*} \bar{B} \end{eqnarray*}$ : ich finde des gut: "nicht genau ein würfel zeigt 6" verwirrt

so dann zur darstellung als teilmengen von omega:
$\begin{eqnarray*} A = \{\Omega | (6;\alpha_2)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\{\Omega| \exists ! \alpha = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{B}=\{\Omega| \neg \exists ! \alpha = 6\} \end{eqnarray*}$
oder:
$\begin{eqnarray*} \bar{B}=\{\Omega| \forall \alpha \neq 6 \vee \alpha_{1,2} = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cup B = \{\Omega|(6,\alpha_2) \; \vee (\alpha_1;6) \; ; \alpha_1 \neq 6 \} \end{eqnarray*}$
hab da beim zweiten das alpha_1 = 6 rausgenommen damit der fall nicht zweimal genannt ist, oder ist das egal ?

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{\Omega | (6;\alpha_2) \; ; \alpha_2 \neq 6 \} \end{eqnarray*}$

hab ich etz an alles gedacht ?

servus

03.09.2005, 16:29

JochenX

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zunächst sieht das auf jeden fall mal besser aus

hast recht A vereinigt B scheint tatsächlich einfach "mindestens eine 6" zu sein (das der andere würfel dann alles zeigen kann, brauchen wir nicht zu sagen)
objekte über die wir nichts sagen, können alles was sie können bekommen [argh, aber du weißt, was ich meine]

zu Bquer gefällt mir "keiner oder beide...." doch etwas besser

jetzt zu deinen darstellungen:
aufpassen, entweder du schreibst:
$\begin{eqnarray*} A=\Omega \setminus ..... \end{eqnarray*}$ als Mengendifferenz, hinten dann alle ausgeschlossenen
oder mit dem senkrechten strich, was du wolltest wohl:
$\begin{eqnarray*} A=\{ \omega \in \Omega | ...... \} \end{eqnarray*}$ , also teilmenge direkt von der ergebnismenge, hinten dann die eigenschaften

bei die stehen alle mengen großomega mit........

das sollte dann aber anders aussehen deine bedingungen, vielleicht sogar so:
$\begin{eqnarray*} A=\{ (a,b) \in \Omega | a=6 \} \end{eqnarray*}$ wäre doch schön
oder mit deiner schreibweise
$\begin{eqnarray*} A=\{ \omega \in \Omega | \omega=(6,a), a \in \{1,...,6\} \} \end{eqnarray*}$

immer schön darauf achten, dass all deine variablennamen zugeordnet sind....
so frage ich mich z.b. wo plötzlich die bezeichnungen alpha1, alpha 2 herkommen?
und ist z.b. (6,122) auch in A?

edit: eine "\}" vergessen

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