Integrieren .... (einen blöden Bruch)

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04.09.2005, 00:32	Nullendomorphismus	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren .... (einen blöden Bruch) Man soll für folgenden Bruch ne Stammfunktion finden: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{(x^2+2cx+d)^k} \end{eqnarray}$ Als Tipp steht dabei: Substitution $\begin{eqnarray} u(x)=\frac{x+c}{\sqrt{d-c^2}} \end{eqnarray}$ Leider bin ich aber irgendwie zu blöd zum Umformen.... :-(( Hilfe!!!!!
04.09.2005, 00:57	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das ein allgemeines k? wie weit kommst du denn mit dem tipp? da kann man doch zumindest mal einiges rechnen; poste mal, was du schon alles gerechnet hast mfg jochen
04.09.2005, 01:30	Null, Null Nulll	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, ist ein allgemeines k. Mann muss ja einen Bruch Q finden, so dass Q*u(x)=Ausgangsbruch gilt. Das krieg ich nicht hin.
04.09.2005, 01:36	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso willst du sowas finden? ich glaube kaum, dass du damit eine freude hättest.... soll dein Q*u nur der nenner oder der ganze bruch sein? nichtsdestotrotz hättest du in Q eine k-potenz des nenners mit x.... nicht, dass ich vorhin auf die schnelle was sinnvolles erhalten hätte (obwohl ein paar teiole wegfielen blieb genug schrott da, da könnte ich mich natürlich verrechnet haben), aber versuch doch mal wirklich die substitution. x=... errechnen, dx=...... und dann mal einsetzen
04.09.2005, 01:39	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Substitution komme ich auf ein Integral, das fast wie der Arcustangens aussieht... ...wenn die blöde k-Potenz nicht da wäre.
04.09.2005, 10:00	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren .... (einen blöden Bruch) Es gibt dazu keine elementare Stammfunktion http://integrals.wolfram.com/
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04.09.2005, 11:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Tip: Berechne doch einfach einmal $\begin{eqnarray} u^2+1 \end{eqnarray}$ mit dem angegebenen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ . Wenn du alles richtig machst, kommst du auf $\begin{eqnarray} (d-c^2)^{\frac{1}{2}-k} \int_{}^{}~\frac{\mathrm{d}u}{(u^2+1)^k} \end{eqnarray}$ Dabei wollen wir tunlichst $\begin{eqnarray} d>c^2 \end{eqnarray}$ voraussetzen, damit das alles funktioniert. (Der Gebrauch des Parameternamens $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ist auch recht ungeschickt, da $\begin{eqnarray} \mathrm{d} \end{eqnarray}$ für den Differentialoperator schon vergeben ist. Na ja!) Das letzte Integral kann dann mittels der Rekursion $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\mathrm{d}u}{(u^2+1)^k} \ = \ \frac{1}{2k-2} \cdot \left( \, \frac{u}{(u^2+1)^{k-1}} + (2k-3) \int_{}^{}~\frac{\mathrm{d}u}{(u^2+1)^{k-1}} \, \right) \end{eqnarray}$ behandelt werden.
04.09.2005, 11:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Trazom Das stimmt nicht!! @Null... Zuerst wird umgeformt: $\begin{eqnarray} \int~\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2cx+d)^k}=\int~\frac{\mathrm{d}x}{((x+c)^2-(c^2-d))^k} \end{eqnarray}$ . Der Fall $\begin{eqnarray} c^2=d \end{eqnarray}$ ist trivial. Nehmen wir den Fall $\begin{eqnarray} c^2>d \end{eqnarray}$ . Dann ist das obige Integral $\begin{eqnarray} =\frac{1}{(c^2-d)^k}\int~\frac{\mathrm{d}x}{\left(\left(\frac{x+c}{\sqrt{c^2-d}}\right)^2-1\right)^k} \end{eqnarray}$ Das läuft auf das Integral $\begin{eqnarray} \int~\frac{\mathrm{d}u}{(u^2-1)^k}=\int~\frac{\mathrm{d}u}{(u-1)^k(u+1)^k} \end{eqnarray}$ hinaus. Dies kann durch Partialbruchzerlegung auf jeden Fall gelöst werden, wenn es auch für allgemeines $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nicht einfach sein wird, aber es gibt eine elementare Stammfunktion!! Nun zum Fall $\begin{eqnarray} c^2<d \end{eqnarray}$ . Hier lässt sich das Integral mit der Rekursionsformel $\begin{eqnarray} \int~\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2cx+d)^k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2x+2c}{(k-1)(4d^2-4c^2)(x^2+2cx+d)^{k-1}}+\frac{2(2k-3)}{(k-1)(4d^2-4c^2)}\int~\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2cx+d)^{k-1}} \end{eqnarray}$ ebenfalls elementar lösen! Gruß MSS edit: Da war ich etwas zu langsam. Hatte nen LaTeX-Fehler drin, den ich irgendwie lang nicht gefunden hab.
04.09.2005, 11:24	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt ihr auf eure Rekursionen?
04.09.2005, 11:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da schaut man in einem Analysisbuch unter Integrationsmethoden nach. Hinter der Rekursionsformel steckt eine partielle Integration: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~1 \cdot \frac{1}{(u^2+1)^{k-1}}~\mathrm{d}u \ = \ u \cdot \frac{1}{(u^2+1)^{k-1}} - \int_{}^{}~~ \ \text{...} \end{eqnarray}$ Diese Formel ist dann nach dem Integral rechts aufzulösen.

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