Approximation

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Cybermichi Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation
Hallo,
Stimmt es, dass die bezüglich des euklidischen Abstandes beste Approximation des Vektors aus dem durch
aufgespannten Unterraum der Nullvekto ist?
Wenn ja, wie finde ich dies heraus? Also, wie gehe ich vor?

Danke, schon im voraus.

Gruß Michi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das hängt ganz davon ab, wie du deine approximationsgenauigkeit festlegen willst

w liegt eindeutig nicht im erzeugnis der 3 vektoren, sonst wäre es natürlich einfach
wie berechnest du den fehler? als euklidnorm der differenz der vektoren?

mfg jochen
Cybermichi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Approximation
Hi, hallo
entschuldige bitte die Verspätung, aber habe es nicht eher geschafft.

Also, den Fehler berechne genauso, wie Du es beschrieben hast, nämlich als Euklidnorm der Differenz der Vektoren. Allerdings verstehe ich nicht genau, welche Rolle, dieser beim Lösen der Aufgabe spielt.
Ich verstehe allerdings auch nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe.
Wie genau, gehe ich denn vor?

Gruß Michi
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

cih würde das so ansetzen:
wir suchen ein Tripel reeller Zahlen (a,b,c) so das der Vektor
av1+bv2+cv3 den Vektor w möglichst gut approximiert.
bezüglich des euklidischen Abstandes wollen wir also die Funktion
f(a,b,c):=||av1+bv2+cv3-w||
minimieren, rechnerisch ist es einfach, noch einmal zu quadrieren und dann kann man das globale Minimum dieser Funktion bestimmen.
In deinem konkreten BSP sieht man, das a=b=c=0 und damit der Nullvektor die best Näherung ist
Cybermichi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Approximation
Hi,
heißt das dann, dass ich mit folgenden Gleichungsystem arbeite?

a + c = 0
b = 1
b = -1
a - c = 0

Jedenfalls geht aus diesem hervor, dass a und c null sein müssen, allerdings, was ist mit b?

Gruß Michi
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht so recht, wo du das gleichungssystem her hast.
wenn ich die Differenz der Vektoren ausrechne kriege ich (nach quadrieren)
(a+c)²+(b-1)²+(b+1)²+(a-c)²
und dieser Term soll in Abhängigkeit von a, b, c minimiert werden.
der allgemeine Ansatz wäre dann, diesen Term nach a, b, c ableiten und diese Ableitungen jeweils Null setzen. Dann ergibt sich als einziges mögliches lokales Extrema der Funktion der Punkt a=b=c=0, dann muss man noch ein bisschen überlegen, was passiert wenn a, b oder c gegen unendlich gehen und warum der kritische Punkt auch das globale Minimum ist
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein geometrischer Weg würde so gehen:

Man identifiziert die Vektoren mit den Punkten, deren Ortsvektoren sie sind.

definieren dann eine Hyperebene im , die den Ursprung enthält. Man stellt durch Berechnung des Skalarproduktes sofort fest, daß zu allen drei Vektoren und damit zu orthogonal ist.

Damit schneiden sich und das Lot zu durch im Ursprung. Der Ursprung ist somit tatsächlich der zu nächstgelegene Punkt von .
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