Ableitung einer bilinearen Abbildung

25.02.2008, 13:07

555

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Ableitung einer bilinearen Abbildung

Hallo, ich habe zu diesem Thema ein paar Verständnisfragen, denn ich weiß nicht, ob ich das richtig verstanden haben.

Also die Bilinearität ist eine Eigenschaft auf einer Funktion $\begin{eqnarray*} E \times F \to G \end{eqnarray*}$ . Wenn diese Funktion nun stetig ist, kann man sie differenzieren.

Es handelt sich hierbei um eine Funtkion, die von zwei Parametern x und y abhängig ist.
Dann muss ich diese Fromeln beim ableiten berücksichtigen:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(x_0 ,y) + f(x, y_0 ) \end{eqnarray*}$
Das bedeutet wiederum, dass ich in dem ersten Fall nach y ableiten würde und in dem zweiten Fall nach x und die jeweils andere Variable eine Konstante darstellt.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R, f(x,y)=3x-y \end{eqnarray*}$
Jetzt leitet man wie folgt ab: $\begin{eqnarray*} f'(x_0 , y) = -1, f'(x, y_0) = +3 \end{eqnarray*}$
Und dann ist die gesamte Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x,y)=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das so verstanden, dass die bilineare Ableitung ein Spezialfall der partiellen Ableitung darstellt.

Ist das richtig? Muss man hierbei noch etwas beachten?

25.02.2008, 13:35

system-agent

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RE: Ableitung einer bilinearen Abbildung

Zitat:

Original von 555
Wenn diese Funktion nun stetig ist, kann man sie differenzieren.

Sicher?

25.02.2008, 13:37

555

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Na ja, dann gilt zumindest die Formel und damit kann ich doch so eine Funktion ableiten oder nich?

25.02.2008, 13:40

WebFritzi

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Wat fuer ne Formel? Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht andersherum! (<-- dickes Ausrufezeichen)

25.02.2008, 13:48

system-agent

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Ich denke er/sie meint die Formel von wegen Addition von irgendwas, was übrigens meiner Meinung nach nicht sein kann.

Du hast ja eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Ableitung davon ist die Jacobimatrix. In diesem Fall ist die Jacobimatrix gleich mit dem Gradienten. Also insbesondere erhält man als Ableitung keine Zahl sondern einen Vektor.

25.02.2008, 14:19

555

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Wieso muss denn das ein Vektor sein, dass versteh ich nun nicht... Ich dachte es müssen einfach nur zwei Koordinaten sein...

Also um mal kurz einen roten Faden zu bekommen, ich habe hier folgenden Satz/Definition:

$\begin{eqnarray*} f: E \times F \to G \end{eqnarray*}$ stetig und bilinear, dann gibt es $\begin{eqnarray*} (x_0 , y_0 )\in E \times F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x,y)=f(x_0, y)+ f(x, y_0) \end{eqnarray*}$ .

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25.02.2008, 14:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von 555
Satz/Definition:

$\begin{eqnarray*} f: E \times F \to G \end{eqnarray*}$ stetig und bilinear, dann gibt es $\begin{eqnarray*} (x_0 , y_0 )\in E \times F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x,y)=f(x_0, y)+ f(x, y_0) \end{eqnarray*}$ .

Wo ist da die Definition? Was sind E, F und G? Wie ist f' definiert?

25.02.2008, 14:30

system-agent

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Das ist ein Vektor, denn stell dir mal den Graphen der Funktion vor, das gibt eine "Landschaft" im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.

Zunächst man musst du erklären was $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind. Ich nehme mal an, dass dies Intervalle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind?
Und wo ist dieser Satz her, beziehungsweise ist das eine Übungsaufgabe oder was?

Edit:
Sorry WebFritzi Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2008, 14:33

555

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Hab den Teil mit dem Satz über Umkehrabbildungen nicht hingeschrieben:

E,F seien Banachräume. UcE und VcF offen. Die Umkehrabbildung der Abbildung ist $\begin{eqnarray*} U \to V \end{eqnarray*}$ . f,g bijektiv und invers zueinander, d.h. $\begin{eqnarray*} g \circ f =id_U, f \circ g= id_V \end{eqnarray*}$ .

25.02.2008, 14:47

555

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Nein, es handelt sich nicht um eine Übungsaufgabe, ich bereite mich auf eine Prüfung vor und dies ist ein Thema, dass ich noch nicht ganz verstanden habe. Die Definition ist so in der Vorlesung geschrieben worden, allerdings mit dem vorigen Satz, den ich gerade noch nachträglich reingeschrieben habe.

25.02.2008, 15:13

gast1

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Hier geht alles durcheinander. Um mal wieder zur Mathematik zurückzukehren:
Seien E,F und G Banachräume. Sei $\begin{eqnarray*} B:E\times F\to G \end{eqnarray*}$ eine stetige bilineare Abbildung. Dann ist B differenzierbar. Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in E\times F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=(h_1,h_2)\in E\times F \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} DB(x,y)(h)=B(x,h_2)+B(h_1,y) \end{eqnarray*}$ .
Der Beweis ergibt sich sofort aus der Definition von Differenzierbarkeit.
Was ist jetzt die Frage?

25.02.2008, 15:22

555

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Die Frage ist eigentlich nur, ob ich damit richtig liege, dass es sich hierbei um einen Spetialfall der partiellen Ableitung geht?
Und ob es noch irgendetwas wissenswertes gibt, was man dazu wissen sollte?

Woher hast du denn diese Definition? Habe nicht wirklich was im Netz und meinen Büchern dazu gefunden...

25.02.2008, 15:52

gast1

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Ich weiß nicht, wie Du das mit der partiellen Ableitung meinst.
Das einzige Buch, das ich zu dem Thema kenne, ist
Dieudonné, Grundzüge der modernen Analysis, Band 1

25.02.2008, 16:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von gast1
Hier geht alles durcheinander.

Jepp.

Zitat:

Original von gast1
Um mal wieder zur Mathematik zurückzukehren:

OK...

Zitat:

Original von gast1
Seien E,F und G Banachräume. Sei $\begin{eqnarray*} B:E\times F\to G \end{eqnarray*}$ eine stetige bilineare Abbildung. Dann ist B differenzierbar.

Falsch.

25.02.2008, 16:56

555

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ok, und wie lautet es dann richtig?

25.02.2008, 17:15

WebFritzi

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Ich muss mich korrigieren. Hab schon wieder zu schnell gedacht gehabt. Das geht bei mir meistens daneben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

gast1 hatte recht. Der Beweis seiner Behauptung ist auch noch quasi trivial.

29.10.2014, 10:46

MaRavioli

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Zitat:

Original von gast1
Hier geht alles durcheinander. Um mal wieder zur Mathematik zurückzukehren:
Seien E,F und G Banachräume. Sei $\begin{eqnarray*} B:E\times F\to G \end{eqnarray*}$ eine stetige bilineare Abbildung. Dann ist B differenzierbar. Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in E\times F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=(h_1,h_2)\in E\times F \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} DB(x,y)(h)=B(x,h_2)+B(h_1,y) \end{eqnarray*}$ .
Der Beweis ergibt sich sofort aus der Definition von Differenzierbarkeit.
Was ist jetzt die Frage?

Du meinst die Definition der Fréchet-Differenzierbarkeit? Den Zusammenhang sehe ich leider nicht. Könntest du ihn mir bitte erklären?

29.10.2014, 11:25

URL

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Ableiten heißt Linearisierung der Differenz $\begin{eqnarray*} B(x+h,y+k)-B(x,y) \end{eqnarray*}$ .
Nutze jetzt die Bilinearität von B aus.

29.10.2014, 16:06

MaRavioli

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Zitat:

Original von URL
Ableiten heißt Linearisierung der Differenz $\begin{eqnarray*} B(x+h,y+k)-B(x,y) \end{eqnarray*}$ .
Nutze jetzt die Bilinearität von B aus.

Halte ich dann oBdA k fest und lasse h-->0 und habe dann $\begin{eqnarray*} B(x,y+k)-B(x,y)=B(x,y-(y+k))=B(x,k) \end{eqnarray*}$
Ist das dann das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} B(x,h_1) \end{eqnarray*}$ was Gast1 geschrieben hat? Und wenn ja, weshalb muss ich die beiden addieren? (Wenn ich das Gleiche nochmal mit k-->0 mache)

29.10.2014, 16:10

URL

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Im Grunde verhält es sich hier genau wie bei einer reellen Funktion zweier Variablen.
Was du machst, entspricht einer partiellen Ableitung nach der zweiten Variablen.

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