und wieder Fourier

04.09.2005, 21:37

ReneS79

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und wieder Fourier

Wink

Und da bin ich wiedermal mit einer Fourierreihe. Bitte erstma kontrollieren, ob ich das bis hierhin überhaupt richtig gemacht habe. a(0) habe ich ausgerechnet und bei a(k) kommt irgendwie Mist raus. Denke ich zumindest.

Hier mal a(0) erstma. Wenn das doch richtig sein sollte, dann muss ich mein a(k) nochma überprüfen.

$\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{\pi}*( \int_{0}^{\pi/2}~-\frac{4}{\pi}x~dx + \int_{\pi/2}^{\pi}~\frac{8}{\pi}x-8~dx) \end{eqnarray*}$

wobei ich dann für $\begin{eqnarray*} a(0)=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ komme.

Bitte überprüft das mal bzw. ob ich die Grenzen richtig gesetzt habe und die Formel für a(0) auch soweit stimmt.

Danke
René

04.09.2005, 22:00

sqrt(2)

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Du entwickelst die Fourierreihe so, als wäre die Funktion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, das ist aber nicht der Fall; soweit man das aus der Zeichnung ablesen kann, ist die Funktion 4-periodisch.

Für eine $\begin{eqnarray*} 2L \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion, für die über dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-L,L] \end{eqnarray*}$ die Fourierreihe entwickelt wird, gilt:

$\begin{eqnarray*} a_0&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L~f(t)~\dd t\\a_k&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L~f(t)\cos\left(\frac{k\pi t}{L}\right)~\dd t\\b_k&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L~f(t)\sin\left(\frac{k\pi t}{L}\right)~\dd t \end{eqnarray*}$

Die Grenzen kannst du, weil die Funktion periodisch ist, natürlich beliebig verschieben, so lange die Intervallbreite gleich bleibt.

04.09.2005, 22:08

ReneS79

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Wink

Na aber die Funktion wiederholt sich doch jedes $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ immer wieder. Da die Funktion eine gerade Funktion ist, habe ich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Grenzen gesetzt.

Wie meinst du das mit 4-periodisch verwirrt

verwirrt

?

04.09.2005, 22:14

sqrt(2)

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Aus deiner Zeichnung ist zu schließen, dass sich die Funktion alle 4 ms wiederholt und nicht alle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ms.

04.09.2005, 22:22

ReneS79

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Kann ich nicht 4= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ setzen?

Soll ich besser für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Zahlen setzen, also ...

$\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{4}*( \int_{0}^{2}~-\frac{4}{2}x~dx + \int_{2}^{4}~\frac{8}{2}x-8~dx) \end{eqnarray*}$

Im Unterricht haben wir auch manchmal die Zahlen durch die $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ 's ersetzt.

04.09.2005, 22:48

sqrt(2)

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Die Formulierung $\begin{eqnarray*} \pi := 4 \end{eqnarray*}$ ist schon schön... smile

smile

Ja, es kann gut sein, dass, wenn du hinterher eine Resubstitution auf eine bestimmte Art und Weise machst, man auf das gleiche Ergebnis kommt. Da ich nicht weiß, wie du das gelernt hast, kann ich das aber nicht beurteilen (ich selbst habe mir das im Rahmen eines Physikreferats vor allem anhand von MathWorld beigebracht und verwende dementsprechend die dort verwendeten Konventionen und Vorgehensweisen). Wenn du die Formeln verwendest, die ich oben hingeschrieben habe, liegst du aber sicher richtig.

Übrigens ist ein Fehler in deiner Art, wie du die Funktion zerlegst: über $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ verhält sich die Funktion so wie $\begin{eqnarray*} g(x)=2x-4 \end{eqnarray*}$ , nicht wie $\begin{eqnarray*} g^*(x)=4x-8 \end{eqnarray*}$ .

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05.09.2005, 14:29

ReneS79

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Wink

(tach)

So, ich glaube ich habs fast geschaft, ausser einer Kleinigkeit. Irgendwie ergibt sich nicht die komplett richtige Reihe. Der Zähler haut irgendwie nicht hin.

Achso. für a(0) habe ich -2 raus. Dat stimmt nach Lösung schonma.

Irgendwas muss an a(k) noch nicht 100%ig stimmen.

$\begin{eqnarray*} a(k)=\frac{1}{4}*( \int_{0}^{2}~-2t*cos(\frac{k\pi t}{2})~dt + \int_{2}^{4}~2t-8*cos(\frac{k\pi t}{2})~dt) \end{eqnarray*}$

Das jetzt integriert.

$\begin{eqnarray*} a(k)=\frac{1}{4}*(\frac{-4*(cos(\frac{k*\pi*t}{2})+k*\pi*t*sin(\frac{k*\pi*t}{2})) }{k^2*\pi^2}+\frac{4*(2*cos(\frac{k*\pi*t}{2})+k*\pi*(t-4)*sin(\frac{k*\pi*t}{2})) }{k^2*\pi^2}) \end{eqnarray*}$

Dann eben ganz normal die Grenzen eingesetzt und versucht die Reihe zu bestimmen.

meine Reihe sieht dann folgendermaßen aus

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2+ \frac{1}{\pi^2}*(\frac{8}{1^2}cos( \frac{\pi}{2}*t)+\frac{16}{3^2}cos(\frac{3\pi}{2}*t)+\frac{24}{5^2}cos( \frac{5\pi}{2}*t)+...) \end{eqnarray*}$

Die in der Lösung ...

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2+ \frac{16}{\pi^2}*(\frac{1}{1^2}cos( \frac{\pi}{2}*t)+\frac{1}{3^2}cos(\frac{3\pi}{2}*t)+\frac{1}{5^2}cos( \frac{5\pi}{2}*t)+...) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip wurde ja überall nur die 16 aus dem Zähler gezogen, was bei meiner Reihe aber nicht klappt. verwirrt

verwirrt

Bei mir steigt auch mit steigendem "k" der Zähler. Was ja nach Lösung eigentlich nicht sein darf.
Stimmt an der Integration irgendwas nicht?

danke
René

05.09.2005, 15:14

sqrt(2)

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Zitat:

Original von ReneS79
$\begin{eqnarray*} a(k)=\frac{1}{4}*( \int_{0}^{2}~-2x*cos(\frac{k\pi t}{2})~dt + \int_{2}^{4}~2x-8*cos(\frac{k\pi t}{2})~dt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x-4,~\forall x\in[2,4] \end{eqnarray*}$ ! (Und die Klammern fehlen auch.)

05.09.2005, 16:04

ReneS79

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Wink

Also dein f(x)=2x-4 ergibt für mich keinen Sinn. Wenn ich mein -8 durch deine -4 ersetze, dann kommt für a(0)=0 raus und für a(k) gibts auch noch nicht die richtigen Reihenergebnisse.

Ich habs auch mal als Bild angehängt.

$\begin{eqnarray*} m=\frac{dy}{dx}=\frac{0-(-4)}{4-2}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=2x+n \end{eqnarray*}$ wobei n doch die Verschiebung auf y darstellt.
In meinem Fall eben -8.

So hab ich es bisher immer gemacht. Habs auch im Taschenrechner nach diesen Gleichungen mal Zeichen lassen. Da stimmte es auch.

So auch hier erklärt http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen...gen%20SODTL.pdf

EDIT: Glaube meine Integration stimmt oben auch nicht ganz. Habe jetzt nochma neu integriert. Jetzt stimmts schon fast. Jetzt würde $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ vor der Klammer stehen und der Rest wie in der richtigen Lösung. verwirrt

verwirrt

Hmmm...

05.09.2005, 21:03

ReneS79

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Wink

Also ich habs nochma durchintegriert und komme definitiv nicht auf das Erg. was in der Lösung steht.

Mein Erg. ist ...

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2+ \frac{4}{\pi^2}*(\frac{1}{1^2}cos( \frac{\pi}{2}*t)+\frac{1}{3^2}cos(\frac{3\pi}{2}*t)+\frac{1}{5^2}cos( \frac{5\pi}{2}*t)+...) \end{eqnarray*}$

Jetzt sagt die Aufgabenstellung, das ich Amplituden und Phasenspektrum bis zur 4. Harmonischen berechnen soll. Wie geht das? Habe im Hefter leider dazu keine einleuchtendes Bsp. und im Buch auch nichts was wirklich anschaulich ist.

Danke
René

05.09.2005, 21:33

sqrt(2)

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Was die Funktion angeht, hast du natürlich Recht... Ich komme übrigens auf ein ähnliches Ergebnis wie du, nur der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ ist bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{16}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ .

Wass das Amplitudenspektrum angeht, würde ich sagen dass du es mit den Koeffizienten der Kosinusfunktionen schon errechnet hast. Zum Stichwort Phasenspektrum bin ich überfragt.

05.09.2005, 21:48

ReneS79

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Jo. Eigentlich kommt ja auch laut Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{16}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ raus.

Bei mir ergibt sich nur solange diese $\begin{eqnarray*} \frac{16}{k^2*\pi^2} \end{eqnarray*}$ , wie ich noch nicht diese $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ mit dazumultipliziert habe.

Komisch. verwirrt

verwirrt

Du kannst ja mal vergleichen, ob du nach Integration das Selbe hast wie ich.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}*((-\frac{4*cos(\frac{k*\pi*t}{2})}{\pi^2*k^2}-\frac{4*t*sin(\frac{k*\pi*t}{2})}{\pi*k})+(\frac{4*cos(\frac{k*\pi*t}{2})}{\pi^2*k^2}+\frac{4*t*sin(\frac{k*\pi*t}{2})}{\pi*k}-\frac{16}{k*\pi}*sin(\frac{k*\pi*t}{2}))) \end{eqnarray*}$

Irgendwo muss doch der Fehlerteufel sitzen.

thx
René

05.09.2005, 22:25

sqrt(2)

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Nun ja, die Stammfunktion für dein erstes Teilintegral hat einen Fehler (ich hab einfach oben abgeleitet und es kommt etwas anderes heraus als $\begin{eqnarray*} g(x)=-2x\cos\frac{k\pi t}{2} \end{eqnarray*}$ ).

05.09.2005, 22:45

ReneS79

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Na das Integral habsch aus einer Integraltafel. Das kann ja eigentlich nicht falsch sein, zumal ich das schon öfters angewendet habe.

Hier mal das Integral.

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x*cos (ax)~dx = \frac{cos(ax)}{a^2} +\frac{x*sin(ax)}{a} \end{eqnarray*}$

Das jetzt umgesetzt auf meine Aufgabe.

Wie sieht denn dein Funktionsgleichung aus, nach Integration?

05.09.2005, 23:25

sqrt(2)

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Nach deiner Formel habe ich

$\begin{eqnarray*} \int~(-2x)\cos\frac{k\pi t}{2}~\dd t=-\frac{8}{k^2\pi^2}(\cos\frac{k\pi t}{2}+\frac{k\pi t}{2}\sin\frac{k\pi t}{2}) \end{eqnarray*}$ .

Für die Funktion selbst lautet meine Lösung

$\begin{eqnarray*} f(t)=-2+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16}{(2k-1)^2\pi^2}\cos\frac{(2k-1)\pi t}{2} \end{eqnarray*}$

06.09.2005, 15:27

ReneS79

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Wink

Komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis. Waren noch zwei Schusselfehler drin.

Danke dir Prost

Prost

Habe aber gleich die nächste Aufgabe. Bitte erstma prüfen, ob ich die Ansätze soweit richtig habe.

Funktion ist meiner Meinung nach weder gerade noch ungerade. Also bedeutet das a(0), a(k) und b(k) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{T}*(\int_{0}^{\frac{2T}{3} }~\frac{6}{T}x ~dx +\int_{\frac{2T}{3}}^{T}~0~dx)=\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(k)=\frac{2}{T}*(\int_{0}^{\frac{2T}{3}}~\frac{6}{T}*t*cos(k*\frac{2\pi}{T} *t)~dt +\int_{\frac{2T}{3}}^{T}~0*cos(k*\frac{2\pi}{T} *t)~dt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(k)=\frac{2}{T}*(\int_{0}^{\frac{2T}{3}}~\frac{6}{T}*t*sin(k*\frac{2\pi}{T} *t)~dt +\int_{\frac{2T}{3}}^{T}~0*sin(k*\frac{2\pi}{T} *t)~dt) \end{eqnarray*}$

Habs mal ausführlich hingeschrieben.Die zweiten Grenzen ergeben ja sowieso Null.

Komischerweise ergibt mein Ergebnis für a(0) = 1.333. In der Lösung hingegen 0.3333. Kann mir aber nicht vorstellen, da einen Fehler gemacht zu haben.

Mal bitte überprüfen

vielen Dank
René

06.09.2005, 21:29

yeti777

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Hallo René!

Dein Ansatz ist richtig. Den Wert für $\begin{eqnarray*} a_0= \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ kann ich bestätigen. Du kannst loslegen. Wenn du deine Resultate hast, können wir vergleichen.

Gruss yeti

06.09.2005, 23:44

ReneS79

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Jo, da werdsch das ma versuchen.

Vielleicht noch ne andere Frage zur vorhergehenden Aufgabe. Weisst du, wie man das Phasenspekturm für die a(k)'s bestimmt? Lauf Lösung ist alles $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Hier nochma die Reihe

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2+ \frac{16}{\pi^2}*(\frac{1}{1^2}cos( \frac{\pi}{2}*t)+\frac{1}{3^2}cos(\frac{3\pi}{2}*t)+\frac{1}{5^2}cos( \frac{5\pi}{2}*t)+...) \end{eqnarray*}$

Im Hefter und im Buch ist dazu folgendes.

Für b(k)=0 kann $\begin{eqnarray*} p(k)=\frac{a(k)}{b(k)} \end{eqnarray*}$ nicht berechnet werden, es gilt aber $\begin{eqnarray*} A(k)=\sqrt{a(k)^2+b(k)^2}=\sqrt{a(k)^2}=|a(k)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(k)=A(k)*sin( p(k)) = |a(k)|*sin( p(k)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(k)=0 -> p(k)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(k)<0 -> p(k)=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht kannst du/ihr damit was anfangen. Aber da jedes a(k) größer ist als 0, müsste doch eigentlich der zweite Winkel in Frage kommen und nicht nur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Zu beachten wären auch noch die Quadranten im Koordinatensystem. Aber selbst wenn ich die mit einbeziehe komme ich nicht auf der richtige Ergebnis.

thx
René

07.09.2005, 00:13

sqrt(2)

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Von der Definition des Phasenspektrums her gesehen müsste eigentlich gelten $\begin{eqnarray*} \varphi_k=0 \end{eqnarray*}$ , denn schließlich ist da nirgendwo eine Sinusfunktion, die die Phase einer Kosinusfunktionen beeinflussen könnte...

07.09.2005, 12:40

yeti777

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Hallo René!

Ich habe im Moment sehr wenig Zeit, denn ich muss eine Arbeit termingerecht bis Freitag Abend abschliessen. Deshalb fasse ich einige meiner Antworten in diesem Post zusammen:

1) Phasenspektrum: Aus grauer Vorzeit habe ich noch eine Ahnung, was darunter gemeint sein könnte, bin mir aber nicht ganz sicher. Also Vorsicht! Hier meine Interpretation: Die FOURIER-Reihe wird normalerweise als eine Summe von cos- und sin-Schwingungen dargestellt. Da cos und sin um pi/2 gegeneinander verschoben sind, kann man das Ganze auch als Summe von sin-Schwingungen mit entsprechenden Phasenverschiebungen darstellen (siehe dazu meine Handskizze im Anhang 1). In deinem Fall gibt es nur cos-Schwingungen. Also würde ich meinen, dass die Phasenverschiebeung konstant pi/2 beträgt (nicht pi).

2) Aktuelle Aufgabe: Weil ich nicht mehr ins Netz komme vor dem Wochenende poste ich mein Ergebnis ausnahmsweise vorzeitig, damit du vergleichen kannst (siehe Anhang 2). Zudem hänge ich eine Grafik für den Fall T:= 6 und n:= 30 an (Anhang 3).

Gruss yeti

07.09.2005, 12:59

sqrt(2)

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Anscheinend sind wir auch hier im Bezug auf das Phasenspektrum an der Definition gescheitert. Für dich, yeti777, ist die Amplituden-Phasen-Notation einer Fourierreihe

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k\sin(k\omega t + \varphi_k) \end{eqnarray*}$ ,

laut Wikipedia, aus der ich meine Information bezogen habe, jedoch

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k\cos(k\omega t + \varphi_k) \end{eqnarray*}$ .

Je nachdem erhält man eben für $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ oder null, auf keinen Fall jedoch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Wir sind uns also einig. smile

smile

07.09.2005, 14:20

ReneS79

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Wink

So, hier mal mein Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{4}{3}+\frac{1}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty~( \frac{3*cos(\frac{4}{3}k\pi)+4k\pi*sin(\frac{4}{3}k\pi)-3}{k^2} )-\frac{1}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty~( \frac{-3*sin(\frac{4}{3}k\pi)+4*k*\pi*cos(\frac{4}{3}k\pi)}{k^2} ) \end{eqnarray*}$

Sieht also ganz gut aus, nur das der letzte Anhang $\begin{eqnarray*} cos(2*\frac{k*\pi*t}{T}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin(2*\frac{k*\pi*t}{T}) \end{eqnarray*}$ fehlt. Wie ergibt der sich denn?

verwirrt

verwirrt

In der eigentlichen Lösung steht auch das T nicht im Nenner. also nur $\begin{eqnarray*} sin(k*2*\pi*t) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Merkwürdig. Vielleicht kannst du/ihr mir das erklären, wo das herkommt. Integriert habe ich das wieder nach meiner Formel (auf Seite 1). Die stimmt also, da ich das bei der vorhergehenden Aufgabe dann auch richtig hinbekommen habe. Also kann's daran nicht liegen.

EDIT: VERSCHRIEBEN Hammer

Hammer

gruss
René

07.09.2005, 15:11

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2): Wir sind uns einig smile

smile

!

Zitat:

Original von ReneS79
Wink

Wink

So, hier mal mein Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{4}{3}+\frac{1}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty~( \frac{3*cos(\frac{4}{3}k\pi)+4k\pi*sin(\frac{4}{3}k\pi)-3}{k^2} )-\frac{1}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty~( \frac{-3*sin(\frac{4}{3}k\pi)+4*k*\pi*sin(\frac{4}{3}k\pi)}{k^2} ) \end{eqnarray*}$

Sieht also ganz gut aus, nur das der letzte Anhang $\begin{eqnarray*} cos(2*\frac{k*\pi*t}{T}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin(2*\frac{k*\pi*t}{T}) \end{eqnarray*}$ fehlt. Wie ergibt der sich denn?

verwirrt

verwirrt

In der eigentlichen Lösung steht auch das T nicht im Nenner. also nur $\begin{eqnarray*} sin(k*2*\pi*t) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Merkwürdig. Vielleicht kannst du/ihr mir das erklären, wo das herkommt. Integriert habe ich das wieder nach meiner Formel (auf Seite 1). Die stimmt also, da ich das bei der vorhergehenden Aufgabe dann auch richtig hinbekommen habe. Also kann's daran nicht liegen.

gruss
René

@René: Offenbar haben dich die vielen "Sinüsse" und "Cosinüsse" ein bisschen verwirrt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Du hast nämlich in der FOURIER-Summe nur die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ uns die $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ hingeschrieben. Wo sind denn die zeitabhängigen cos- und sin-Funktionen? Schau dir noch einmal die Definition der FOURIER-Reihe an!

Sodann: In den bk-Koeffizienten hast du zwei sin-Terme, ich einen sin- und einen cos-Term. Wer hat sich von uns beiden verrechnet oder auch nur verschrieben?

Im Argument der sin- und cos-Schwingungen muss definitiv $\begin{eqnarray*} k\frac{2\pi }{T} t \end{eqnarray*}$ stehen, denn es gilt $\begin{eqnarray*} \omega= \frac{2\pi }{T} \end{eqnarray*}$ . Ohne das $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (Periode) im Nenner würde es, von der Physik her gesehen, schon wegen den Einheiten nicht stimmen.

Gruss yeti

07.09.2005, 15:13

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzgefasst: Die zusätzliche Kosinus- bzw. Sinusfunktion kommt aus der eigentlichen Formel für die Fourierreihe, du hast ja bisher nur die Koeffizienten ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^\infty a_k\underbrace{\cos\frac{2k\pi t}{T}}_{\mathrm{hier}}+\sum_{k=1}^\infty b_k\underbrace{\sin\frac{2k\pi t}{T}}_{\mathrm{und\ hier}} \end{eqnarray*}$

07.09.2005, 15:32

ReneS79

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Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann schreibe ich das immer nur mit dahinter, wenn ich das Summenzeichen verwende?

Da ich ja im Prinzip noch keine Reihe (wie bei den vorhergehenden Aufgaben) bestimmt habe.

Und so eindeutig wie von sqrt(2) habe ich diese Formel noch im keinen Buch gefunden.

BIG thx euch beiden

gruss
René

PS: war nur ein Schriebfehler Hammer

Hammer

Forum Kloppe

Hammer

07.09.2005, 15:36

sqrt(2)

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Ja, die Koeffizienten, die du in den vorherigen Aufgaben errechnet hast, waren zusammen noch keine Reihe. Diese Koeffizienten müssen noch in die Formel, die ich oben gepostet habe, eingesetzt werden, erst dann ergibt sich die Funktion.

07.09.2005, 21:49

ReneS79

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Wink

Was mir gerade noch aufgefallen ist geschockt

geschockt

, nach der Formel hin, muss ich ja noch meine Ergebnis für a(0) durch 2 teilen, um das entgültige Ergebnis für a(0) zu bekommen.

Was dann ja eigentlich 2/3 ergibt. Wenn ich das nun nochma durch 2 teile, dann komme ich erst auf das Erg., was in Lösung steht.

Also scheint die Lösung wohl nicht ganz zu stimmen, da im Nenner (vorm Summenzeichen) beim PI auch noch ne 4 steht "4*PI²". Keine Ahnung wo die herkommt.

Denke mal, das unser Ergebnis so richtig ist.

gruss
Rene

07.09.2005, 22:58

sqrt(2)

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Zitat:

Original von ReneS79
Was mir gerade noch aufgefallen ist geschockt

geschockt

, nach der Formel hin, muss ich ja noch meine Ergebnis für a(0) durch 2 teilen, um das entgültige Ergebnis für a(0) zu bekommen.

Das hängt ganz von der Definition von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ . Ich meine dich schon gesehen zu haben, wie du den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schon direkt in die Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ einbezogen hast.

Naja, dass die Lösung nicht ganz so perfekt ist, haben wir hier ja schon mehrfach gesehen.

08.09.2005, 12:19

yeti777

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Hallo René!

Bezüglich $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ hat sqrt(2) Recht. Du hast den Faktor $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ bereits in deiner Formel berücksichtigt. Siehe dazu deinen eigenen Post vom 6.9.2005/ 15:27. Dort steht vor dem Integral der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \end{eqnarray*}$ , währenddem bei den Formeln $\begin{eqnarray*} a_k\,,\,b_k\,,\,k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ vor dem Integral der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{T} \end{eqnarray*}$ steht. Der Faktor $\begin{eqnarray*} a_0= \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ ist mit Sicherheit richtig. Die Musterlösung hat einen falschen Wert. Vorschlag: Poste noch einmal deine endgültige, komplette Lösung, so wie du sie berechnet hast. Dann vergleiche sie mit meiner Lösung im Post von gestern 12:40.

Gruss yeti

08.09.2005, 13:27

ReneS79

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Wink

yeti

Ich habe genau das Selbe raus wie du, nachdem ich noch diesen Teil "cos(...)" und "sin(...)" mit anhänge.

Meinste du das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ?

Da ja 1 Periode = 2PI ist und damit T. Das ich über das T indirekt die 1/2 mit einrechne?

Wenn ich mit den $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ 's rechne leuchtet mir das ein. Entweder ich rechne gleich $\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{2*\pi} \end{eqnarray*}$ oder nur $\begin{eqnarray*} a(0)=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ und muss das Ergebnis dann nochma durch "2" teilen. Ich hoffe ich habe das so richtig erklärt.

gruss
René

09.09.2005, 12:01

yeti777

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Hallo René!

Dachte, ich schau mal kurz rein. Ich spüre bei dir noch eine gewisse Unsicherheit bezüglich den Intervallgrenzen. Bei der Definition der FOURIER-Reihe geht man ursprünglich von einer $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodischen Funktion aus. Das Umlegen auf eine beliebige Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ geschieht dann mit einer Intervalltransformation (1). Die Integrale transformieren sich dann gemäss der Substitutionsregel für Integrale (auch Transformationssatz) (2). Bitte schau doch mal, was du unter den beiden Stichwörtern findest. Wenn du nicht klar kommst, werde ich es dir gerne ausführlich erörtern, nur nicht gerade jetzt, da ich zeitlich unter Druck bin.

Bezüglich des Faktors $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ : Das ist nur eine Frage der Definition, wie man die FOURIER-Reihe anschreibt. Sieh mal weiter oben nach. Sofern ich mich erinnere, hat sqrt(2) diese Frage schon einmal geklärt. Ich könnte auch hier noch einmal das Wesentliche zusammenfassen, aber...siehe oben.

Wenn du das Thema weiterspinnen willst, gib eine kurze Nachricht. Ich melde mich, sobald ich kann, sofern nicht jemand anders einspringt.

Gruss yeti

09.09.2005, 17:27

ReneS79

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Hi ihr's

Wink

In Bezug auf dieses a(0) werde ich mich nochma melden und auch nochma meine Theorie zum besten geben. So wie ich meine, es verstanden zu haben.

Ich habe wiedermal eine Aufgabe, wobei ich diesma überhaupt keinen Ansatz finde. Aufgabenstellung ist wie immer die Selbe. Fourierreihe entwickeln und Amplituden und Phasenspektrum. Alles andere ist auf der Grafik.

Vielleicht könnt ihr damit was anfangen.

Brauche im Prinzip nur erstma die Funktionen und die Grenzen. Rechnen werde ich dann erstma allein. Kann leider nichts mit diesem f(t) auf der Grafik überhaupt nichts anfangen. Umstellen verwirrt

verwirrt

, naja, wonach verwirrt

verwirrt

vielen Dank
René

09.09.2005, 18:41

sqrt(2)

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Die Funktionsvorschrift hast, du schon: $\begin{eqnarray*} f(t)=t^2\frac{1}{\mathrm{s^2}}-1 \end{eqnarray*}$ ; das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mathrm{s^2}} \end{eqnarray*}$ ist die Einheit. Um das Intervall zu bestimmen, über dem du entwickelst, musst du dir doch nur ansehen, ab wann sich die Funktion wiederholt.

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