integralsubstitution

05.09.2005, 01:32

fischkopp

integralsubstitution

Hallo erstmal

ich bin im Papula auf diese komische Beispiel gestossen:

Flaecheninhalt eines Kreises:

A=4* $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{r}~\sqrt{r²-x²}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution

x=r*sin u und damit
dx=r*cos u * du
u=arcsin (x/r)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r²-x²} \end{eqnarray*}$ = r*cos u (1) Hilfe

fuer u ergeben sich 0 und Pi/2 als neue Grenzen (soweit klar)

Und dann wird wegen (1) einfach behauptet:

$\begin{eqnarray*} 4*\int_{0}^{r}~\sqrt{r²-x²}~dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4\int_{0}^{pi/2}~(r²*cos²u)~du \end{eqnarray*}$

danach wird dann mit

cos² u=0,5(1+cos(2u)) weitergemach (auch klar) aber wieso zum ****
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r²-x²} \end{eqnarray*}$ = r*cos u

Schonmal vielen Dank in Voraus

05.09.2005, 02:18

JochenX

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RE: integralsubstitution

Zitat:

Original von fischkopp
aber wieso zum ****
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r²-x²} \end{eqnarray*}$ = r*cos u

setz doch für x einfach mal r*sin(u) ein
dann findet sich das so mithilfe der trigonometrischen eins: 1=sin^2+cos^2

Zitat:

Und dann wird wegen (1) einfach behauptet:

$\begin{eqnarray*} 4*\int_{0}^{r}~\sqrt{r²-x²}~dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4\int_{0}^{pi/2}~(r²*cos²u)~du \end{eqnarray*}$

wo hier die quadrate herkommen würde mich viel mehr interessieren!?

05.09.2005, 02:24

irre.flexiv

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(1) erhälst du auch aus der Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} x = cos (u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = sin (u) \end{eqnarray*}$ (was ja laut Def. gilt) ist ne einfache Umformung.

05.09.2005, 02:37

irre.flexiv

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@LOED
Man substituiert ja nicht nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} rcos(u) \end{eqnarray*}$ , sondern auch $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} rcos(u)du \end{eqnarray*}$ , daher die Quadrate.

Womit ich aber nicht einverstanden bin ist die Substitution $\begin{eqnarray*} x = rsin(u) \end{eqnarray*}$ , falls x die Abszisse ist eines Kreispunktes sein soll.

05.09.2005, 08:20

riwe

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RE: integralsubstitution
@hallo jochen,

2:18 ist einfach zu spät!

wie irre.flexiv schon geschrieben hat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^{2}-x^{2}} \Rightarrow r\cdot cosu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= r\cdot sinu\Rightarrow dx=r\cdot cosu\cdot du \end{eqnarray*}$

wie man während 8:19 < t < 2:18 sieht

werner

und die "eingeforderte" skizze zum "strahlensatz" oder "wie ich mir einen sommer vorgestellt hätte"

05.09.2005, 10:14

JochenX

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uiuiuiuiuiui, danke irreflexiv Gott

danke werner Gott

daran hatte ich gestern abend gar nicht mehr gedacht......

mfg jochen

danke auch für die wunderschöne skizze, werner, hast die selbst gemacht oder hat der kleine künstler dabei geholfen?

05.09.2005, 11:13

riwe

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Zitat:

Original von LOED

danke auch für die wunderschöne skizze, werner, hast die selbst gemacht oder hat der kleine künstler dabei geholfen?

ist das jetzt spott oder hohn?
werner

05.09.2005, 11:24

Leopold

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Auch wenn's so wäre, tröste dich, Werner! Auch Mozarts Genie wurde erst Jahre nach seinem Tod erkannt ...

(Ich glaube, das ist jetzt Spott.)

05.09.2005, 12:16

riwe

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da deine "lieblinge" wagner und bruckner sind, habe ich das fast geahnt!
werner

05.09.2005, 12:26

Leopold

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Woher weißt du denn das? Habe ich das einmal verraten?
Der Bruckner ist ja keineswegs spöttisch, sondern sehr gerade (und erzkatholisch), auch Wagner würde ich nicht als spöttisch bezeichnen, aber als sehr vielschichtig und vieldeutig in dem, was seine Texte sagen.

05.09.2005, 12:58

JochenX

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Zitat:

Original von wernerrin

Zitat:

Original von LOED

danke auch für die wunderschöne skizze, werner, hast die selbst gemacht oder hat der kleine künstler dabei geholfen?

ist das jetzt spott oder hohn?
werner

du siehst das völlig falsch werner
solche bilder haben eben völlig unterschiedliche aussagekraft, je nch person, von der sie kommen

würde der kleine phil so etwas vorsetzen, würden wir lächeln, denn er kann es noch nicht besser
wenn aber der gute alte werner uns das vorsetzt, dann freuen wir uns ob der kreativität und der frische des pinselschwunges, den er hier aufsetzt Freude

soll heißen: vielleicht nicht real, aber schwungvoll und schöne farben

[als letzten vergleich: wenn ich das malen würde, würde jeder lachen, dass ich immer noch nicht malen gelernt habe]

also kein spott, kein hohn
aber es hätte eben jeder gemalt haben können

mfg jochen

[OT]

05.09.2005, 13:29

riwe

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@hallo jochen,
jetzt stehe ich da, ich armer tor,
und bin so klug als wie zuvor,
vor diesem (eigen)tor!?
oder so ähnlich

habe es halt noch einmal versucht, bitte achte auf den titel!

@hallo leopold,
ja das hast du vor langer zeit einmal verraten, wer deine lieblingskomponisten sind.
das spöttisch habe ich mehr auf das "ranking" bezogen, da du mich sozusagen "nur" mit dem drittbesten verglichen hast. aber ich liebe mozart sehr, möchte ihn in frieden ruhen lassen und ihm meine bilder ersparen.

gehe jetzt weiter üben (malen?)
werde mich aber in zukunft wieder auf "mathematische" skizzen beschränken.
werner

06.09.2005, 00:15

fischkopp

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Danke euch allen

Eigenlich muss man ja nur mal scharf auf den einheitskreis gucken, aber wenn ein Buch vor hinweisen nur so strotzt, gibt man eben zu schnell auf.

@wernerin: ich dachte das Bild kommt aus der Graphentheorie
(kein Spott)

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