summierte Trapezregel

05.09.2005, 14:31	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
summierte Trapezregel Zur summierte Trapezregel finde ich irgendwie nur unterschiedliche Formeln, die alle mehr oder weniger verständlich sind, jedoch nicht an die richtig Lösung herankommen: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \sin(\pi x) \end{eqnarray}$ ist zu berechnen mit der Summierten Trapezformel und den Schrittweiten: $\begin{eqnarray} h_i=\frac{1}{2^i}i=0,\dots, 4 \end{eqnarray}$ Musterlösungsansatz: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \sin(\pi x)dx = \frac{2}{\pi}\simeq 0,6366197722<br /> T_f(h)=h[\underbrace{\frac{f(a)}{2}+f(a+h) +f(a+2h)+\cdots +f(b-h)-\frac{f(b)}{2}}_{\text{Stützstellen}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(1)=1(\frac{\sin(0)}{2}+\frac{\sin(\pi)}{2})=0 \Rightarrow \mid err_0\mid = 0,636619 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(0+1+0)=\frac{1}{2} \Rightarrow \mid err_1\mid = 0,136619 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}(0+\frac{1}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+0)=0,60355<br /> \Rightarrow \mid err_2\mid = 0,033066 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(\frac{1}{8})=\frac{1}{8}(0+0,38268+\frac{1}{\sqrt{2}}+0,92388+1+0,92388+\frac{1}{\sqrt{2}}+0,38268+0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0,628 \Rightarrow \mid err_3\mid = 0,00820 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(\frac{1}{16}=0,63457 \Rightarrow \mid err_4\mid = 0,0020466<br /> \end{eqnarray}$ Berechnung des Interpolynompolygon zu diesen 5 Stellen: $\begin{eqnarray} <br /> P\in P_4 \quad P(h_i^2)=T_f(h_i)<br /> P(h^2) = \tau_0 +\tau_1 h^2+\tau_2 h^4+\tau_3 h^6+\tau_4 h^8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&\frac{1}{4}&\frac{1}{16}&\frac{1}{64}&\frac{1}{256}\\1&\frac{1}{16}&\frac{1}{256}&\frac{1}{4096}&\frac{1}{65536}\\1&&\frac{1}{64}&\frac{1}{4096}&\frac{1}{8^6}&\frac{1}{8^8}\\1&\frac{1}{16^2}&\frac{1}{16^4}&\frac{1}{16^6}&\frac{1}{16^8}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0,5\\0,603\\0,625\\0,634\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur $\begin{eqnarray} \tau_0 \end{eqnarray}$ ist relevant $\begin{eqnarray} \Rightarrow \tau_0=0,6366197705 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid err\mid = 0,21\cdot 10^{-8} \end{eqnarray}$ Wenn ich das jedoch rechne nach: z.B Bronstein: $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x)=h(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+y_3+\dots+\frac{y_n}{2}) \end{eqnarray}$ Hier kann ich ja schon mal keine unterschiedlichen Schrittweiten angeben! $\begin{eqnarray} T_m= \frac{h}{2}\Big(f(a) + 2 f(a+h) + 2 f(a+2h) + \cdots + 2 f(a+(m-1)h) +f(b)\Big)=\frac{h}{2}\Big(f(a) + 2 \sum_{\mu=1}^{m-1} f(a+\mu h) + f(b)\Big), \end{eqnarray}$ Auch hier kann ich keine unterschiedlichen Schrittweiten angeben Und selbst wenn ich davon ausgehen würde, dass einfach h=0.2 ist, ist die abweichung doch deutlich größer als oben!
04.01.2009, 02:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: summierte Trapezregel Ich vermute, du bringst hier einiges durcheinander. Für die Summierte Trapezregel gibt es eine Formel, dort setzt du dein h ein und erhälst den Näherungswert für das Integral. Die Folge deiner h läßt mich aber vermuten, dass du eher an einer Extrapolation interessiert bist. (Romberg Folge) [WS] Extrapolation

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