Kurvenscharen

26.02.2008, 08:06

6setzen

Kurvenscharen

Berechne in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für das Schaubild $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ von

a) $\begin{eqnarray*} f_t(x) = 3x²-12x+4t²-6t \end{eqnarray*}$ t Element aus R

b) $\begin{eqnarray*} f_t(x) = 3x²-2tx+4t²-6t \end{eqnarray*}$
t Element aus R

den Tiefpunkt $\begin{eqnarray*} T(x_t/y_t) \end{eqnarray*}$ . Für welches $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ am kleinsten?

26.02.2008, 08:19

klarsoweit

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RE: Kurvenscharen
unglücklich

Also eigentlich solltest du doch die hiesigen Spielregeln kennen:

Prinzip "Mathe online verstehen!"

26.02.2008, 11:03

Bjoern1982

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Poste mal deine Ansätze und erkläre was genau du nicht verstehst.

26.02.2008, 13:59

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SRY ich hatte dann Unterricht und konnte nicht weiter machen und habs dann vergessen..

Also ich weiß nich sos ganau was gesucht ist.
Das heißt fangen wir mal mit a) an

um die abhängigkeit von etwas zu beweisen habe ich gelerntt von Bjoern das x=irgendetw.t sein muss.

Der erste satz will mir sagen das X abhängig von t ist? Oder soll mir das saagen der Tiefpunkt ist abhängig von t. Erstmal soll ich den Tiefpunkt suchen oder?

26.02.2008, 14:03

Bjoern1982

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Erstmal danke für die Blumen Augenzwinkern

Desweiteren hast du recht - berechne einfach den Tiefpunkt von jeder Funktion.
Da in den Funktionen der Parameter t auftaucht kann es auch passieren, dass bei den Koordinaten des Tiepunktes am Ende ein t dabei ist.
Um den kleinsten Tiepunkt herauszufinden musst du die y-Koordinate des Tiefpunktes nachher auch wieder als Funktion von t auffassen, also g(t), von welcher du dann den Tiefpunkt bestimmen musst.

Kommst du damit weiter ?

Viele Grüße

Björn

Edit:

Der Index t bei $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ bedeutet einfach nur, dass bei der x- bzw y-Koordinate des Tiefpunktes nicht nur Zahlen sondern auch irgendwas mit t auftauchen kann. Sowas nennt man dann auch Punkteschar, denn für jedes t aus den reellen Zahlen entsteht ein neuer Tiefpunkt.

26.02.2008, 14:14

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bitte bitte Augenzwinkern

hmm also ich denke ich habe es verstanden nur das ich aus der Y koordinate des TP wieder eine Funktion machen soll das ist mir nicht ganz klar..

ich versuche jetz mal zu rechnen und und dann sag ich bescheid wenen ich hängen bleibe.

Ich muss ja jettzt nichts besonderes beachten oder ich mache sozusagen einfach eine Kurvendiskussion bis zum Tiefpunkt?

26.02.2008, 14:17

Bjoern1982

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Genau, eine ganz normale Tiefpunktbestimmung wie bei einer Kurvendiskussion smile

26.02.2008, 14:40

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ok ich versuche das jetzt mal - werde zwar nicht weit kommen aber ich kämpfe Big Laugh

oh mann langsam vergeht mir echt der spaß an mathe unglücklich

26.02.2008, 14:42

Bjoern1982

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Ich hatte das heute Mittag auch mal durchgerechnet - wir können dann gerne nachher vergleichen.

Dann kämpf du mal...viel Erfolg Wink

26.02.2008, 15:06

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ok da wäre auch schon die erste Frage wie finde ich denn jetz die nullstellen herraus???

also ich bin ja bei der a) und da steht ja ) $\begin{eqnarray*} f_t(x) = 3x²-12x+4t²-6t \end{eqnarray*}$
ich weiß nicht wie ich jetz an das 12x+4t²-6t herangehen soll...

26.02.2008, 15:20

Bjoern1982

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Für die Tiefpunkte (Extrempunkte) brauchst du nicht die Nullstellen der Ausgangsfunktion sondern die Nullstellen der 1. Ableitung.

26.02.2008, 16:10

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Also:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 3x²-12x+4t²-6t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=6x-12+8t-6 \end{eqnarray*}$

Bed.: $\begin{eqnarray*} f'_t(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 6x=12-8t+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2-\frac{4}{3}t+1 \end{eqnarray*}$

also ist die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0=2-\frac{4}{3}t+1 \end{eqnarray*}$ ????

EDIT

hmm aber die 2.Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f''_t(x)=6 \end{eqnarray*}$ Um jetzt zu guggen obs ein TP ist muss ich eigentl die Nullstelle da einsetzen...aber das geht ja nicht....

Und nun? muss ich Vorzeichenwechsel verfahren anwenden oder was?

EDIT 2

DUMM das geht ja auch nicht is ja auch mit zweite ableitung...

26.02.2008, 16:15

Bjoern1982

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Leider nein, denn man leitet nach x ab, nicht nach t.
t muss man einfach wie eine normale Zahl (Konstante) behandeln und auch dementsprechend ableiten. Was ist nämlich die Ableitung einer Konstanten ?

26.02.2008, 16:18

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achso ja ok dann also:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 3x²-12x+4t²-6t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=6x-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_t(x)=6 \end{eqnarray*}$

Bed.: $\begin{eqnarray*} f'_t(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$

aber dann kann ich es ja trtozdem nicht in die 2. Ableitung einsetzen?

26.02.2008, 16:22

Bjoern1982

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Dass bei der 2. Ableitung kein x mehr steht bedeutet einfach dass für JEDES x die 2. Ableitung automatisch 6 ist und somit positiv, wodurch immer ein Tiefpunkt vorliegen muss.

Durch Einsetzen von x=2 in $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ erhälst du dann $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ des Tiefpunktes.

26.02.2008, 16:28

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ahhh jaaaaaaaaaaa na kla ja da hätte ich auch selber drauf kommen können.....

ok und nun muss ich ja noch schauen für welches $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ am kleinsten wird. wie mach ich das?

ich bekomme da jetzt herraus für $\begin{eqnarray*} y=4t^2-6t-12 \end{eqnarray*}$

26.02.2008, 16:32

Bjoern1982

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Richtig =)

Und da ja gefragt ist wann diese y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten wird, muss man eben noch einmal den Tiefpunkt bestimmen - dieses Mal kann man diese Koordinate als eigene Funktion auffassen, die von t abhängt (nicht von x) und diese nach nach t ableiten. Also ganz normal wie oben vorgehen.

26.02.2008, 16:35

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ok ich kämpfe weiter^^

MOMENTe MAL

ich bin verwirrt die frage die jetzt kommt ist echt dumm aber ich komme einfach nicht mehr auf meinen Y-wert

ich weiß nicht mehr wie ich auf die 12 gekommen bin.... also

3*2²-12*2+4t²-6t = 4t²-6t

welchen denkfehler mache ich gerade den ich vorhin nicht gemacht habe???

26.02.2008, 16:45

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also $\begin{eqnarray*} t=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

das heißt wenn $\begin{eqnarray*} t=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ dann ist der Y-Wert am kleinsten?

Bitte letztes EDIT anschauen Hammer

26.02.2008, 16:53

Bjoern1982

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Stimmt

26.02.2008, 17:02

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ich bin verwirrt die frage die jetzt kommt ist echt dumm aber ich komme einfach nicht mehr auf meinen Y-wert

ich weiß nicht mehr wie ich auf die 12 gekommen bin.... also

3*2²-12*2+4t²-6t = 4t²-6t

welchen denkfehler mache ich gerade den ich vorhin nicht gemacht habe???

EDIT

OHHHHHHH BIN ICH DUMM ich hab im kopf immer 3 * 2³ gerechnet is ja kla das es falsch war....... mann

SRY

Ok die b)

ich bin jetz soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=3x²-2tx+4t^2-6t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=6x-2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_t(x)=6 \end{eqnarray*}$

Bed.: $\begin{eqnarray*} f'_t(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''_t(x)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=6x-2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(\frac{1}{3}t / \frac{11}{3}t²-6t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{11}{3}t^2-6t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\frac{22}{3}t-6 \end{eqnarray*}$

Bed.: $\begin{eqnarray*} f'(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{22}{3}t-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{9}{11} \end{eqnarray*}$

bitte sag mir das ich das richtig habe?

26.02.2008, 17:12

Bjoern1982

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Naja du hast ein paar t's verschludert, aber t= 9/11 hatte ich auch raus Augenzwinkern

26.02.2008, 17:15

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oh ja stimmt ich habe das t vergessen aber kann ich ja noch verbessern...

komisch ich habe gerade im lösungsbuch geschaut und da steht t= 3/11
aber ich habe jet schon 10 mal nachgerechnet... es kommt nichts anderes raus....
also ich rede von der b)

26.02.2008, 17:18

Bjoern1982

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die x-Koordinate des Tiefpunktes lautet 3/11 wenn du t=9/11 in x=(1/3)*t einsetzt.

Ich muss jetzt leider erstmal weg.

Schaue heute Nacht nochmal rein.

Viel Spaß noch Augenzwinkern

Björn

26.02.2008, 17:22

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ok, aber vorher bei der a steht ja das richtige ergebnis im Lösungsbuch

naja deer mensch ist klüger als das Buch....Tipfehler kann ich dazu nur sagen Big Laugh

wenn ein Genie und ein nichtsverstehender Mathefreak das gleiche raus haben...muss es richtig sein...

Vielen dank Big Laugh

26.02.2008, 23:40

Bjoern1982

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Habe nochmal über die Aufgabe geschaut und der Vollständigkeit halber wollte ich dich noch darauf aufmerksam machen, dass du auch hier noch mit der 2. Ableitung zeigen müsstest, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{11}{3}t^2-6t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\frac{22}{3}t-6 \end{eqnarray*}$

Bed.: $\begin{eqnarray*} f'(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{22}{3}t-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{9}{11} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

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