Lineare Abbildung, Eigenwerte, Eigenvektoren

26.02.2008, 10:34

Angantyr

Lineare Abbildung, Eigenwerte, Eigenvektoren

Hey hey,

Wir müssen folgende Aufgabe lösen: Sei h die Drehung um den Winkel Pi um die z-Achse. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von h.

Stimmt folgendes Vorgehen:

Die Drehung um den Winkel Pi lässt sich mit folgender Drehmatrix umsetzen:

$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom dazu:

$\begin{eqnarray*} p_a(x)=p_f(x)=det(A-xI)=(x+1)^2(1-x) \end{eqnarray*}$

Also sind die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-1, \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$

Nun kämpfe ich etwas mit den Eigenvektoren, stimmt das so:

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0~x1+0~x2+0~x3=0\\ 0~x1+0~x2+0~x3=0 \\ 0~x1+0~x2+2~x3=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist x3=0 und x1,x2 frei wählbar?

Also ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{(x1,x2,x3) \in \mathbb R^3| (x1,x2,x3)=(t,s,0) \text{ mit } s,t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2~x1+0~x2+0~x3=0\\ 0~x1+2~x2+0~x3=0 \\ 0~x1+0~x2+0~x3=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist x1=0, x2=0 und x3 frei wählbar.

Also $\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{(x1,x2,x3) \in \mathbb R^3| (x1,x2,x3)=(0,0,t) \text{ mit } t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, oder ist das völlig falsch? Wenn es stimmen würde, kann man das dann die Eigenvektoren auch physikalisch interpretieren? Irgendwie erscheint mir das Ganze sehr realitätsfremd.

26.02.2008, 11:03

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung, Eigenwerte, Eigenvektoren

Zitat:

Original von Angantyr
Also sind die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-1, \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$

Das ist kein Wunder, denn die Matrix A ist ja schon in Diagonalform. Big Laugh

Ansonsten alles richtig.

Wie man das physikalisch interpretieren kann, kann ich dir nicht sagen. Auf jeden Fall werden Vektoren aus der x-y-Ebene auf ihren Gegenvektor abgebildet und Vektoren aus der z-Ache auf sich abgebildet.

26.02.2008, 11:42

Angantyr

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Ok, vielen Dank smile

Ja, schon klar, wollte es nur 'sauber' aufschreiben Augenzwinkern

Um nicht noch einen neuen Beitrag zu starten:

Hat vielleicht jemand gerade noch nen Tip, mit welcher Funktion $\begin{eqnarray*} f \in Hom(\mathbb R^3, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ ( respekteive welcher dazugehörigen Matrix) man die Spiegelung an der Ebene, die durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x+2y+3z=0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist, beschreiben kann?

Meine Idee wäre: Man könnte (z.B. mit Hilfe des Skalarproduktes) den Raum in 2 Teilräume unterteilen und in einem in 'positiver' Richtung 2 Mal den Abstandsvektor zum Ursprunsvektor addieren, im anderen in negative Richtung. Dann daraus eine Abbildungsmatrix basteln und so die in der Aufgabe geforderten Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen. Dies ist sicher viel zu kompliziert, jemand gerade ne Idee, wie das hübscher und schneller möglich ist?

Eine 2. Möglichkeit wäre, zuerst das Koordinatensystem zu drehen, dann zu spiegeln und danach zurückzudrehen und diese 3 Abbildungen (respektive die 3 Matrizen, durch welche diese 3 linearen Abbildungen beschrieben werden können) zusammenzufügen (die Matrizen zu multiplizieren) und dann daraus die Eigenwerte und -vektoren zu bestimmen. Sehe ich das richtig?

28.02.2008, 16:09

beuteltier

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du könntest eine basis berechnen, wovon ein vektor senkrecht zu dieser ebene steht, die andern beiden in der ebene liegen. dann transformierst du in diese basis, machst die spiegelung, und transformierst zurück.
also
ersterer hat eigenwert -1, die anderen beiden 1.
also muss es so irgendwie aussehen
$\begin{eqnarray*} A = S\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}S^{-1} \end{eqnarray*}$
wobei in S die basisvektoren in den spalten stehen.
musst also nur die inverse berechnen, dann falls du lust hast noch das ganze matrixprodukt ausrechnen, et voila

ps: falls es dir nur um die eigenvektoren/-werte geht, reicht die geometrische überlegung, die ich hier impliziert habe. da braucht man nicht erst die matrix auszurechnen.

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