Ebenengleichung erstellen und Abstandsformel

26.02.2008, 11:48

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenengleichung erstellen und Abstandsformel

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

Zu betrachten ist die Gerade $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a)

Es sei $\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt.

Geben Sie eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} + \delta = 0 \end{eqnarray*}$ an, die von allen Punkten $\begin{eqnarray*} X = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \end{eqnarray*}$ derjenigen Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ erfüllt wird, die durch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ geht und senkrecht zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist.

Aufgabe b) und c) folgen noch.

Ich habe mir überlegt, dass ich als erstes mal einen Vektor senkrecht auf die gegebene Gerade G erstelle (Normalenvektor) und somit hätte ich schon meine Alpha, Beta und Gamma. Anschließend nehme ich den Punkt P und setze ihn in die Koordinateform ein und berechne mein Delta.

Danach bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = x_{1} - 2x_{2} - p_{1} + 2p_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Die grundsätzliche Überlegung wäre ja, ich muss eine Ebenengleichung aufstellen, die z.B. den Punkt P als Stützvektor enthält und anschließend noch zwei Richtungsvektoren, wobei ich ja einfach zwei Normalenvktoren auf/von G nehmen könnte. Das habe ich ja dann im Prinzip auch gemacht, nur eben direkt für die Koordinatenform, da ja nach dieser gefragt ist.

Freue mich über Antworten/Hilfe.

26.02.2008, 11:57

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Normalenvektor der gesuchten Ebene und Richtungsvektor der Geraden dürfen aber nicht senkrecht zueinander stehen. Mache dir mal eine Skizze und folgere dann was für einen Normalenvektor der Ebene gelten muss wenn die Gerade senkrecht zur Ebene liegt.

Gruß Björn

26.02.2008, 12:24

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ouch...auch ohne Skizze nach deinen Zeilen und Überlegung, war das natürlich Blödsinn, was ich gemacht habe. *g*

Der Normalenvektor der Ebene (Alpha, Beta, Gamma) ist ja senkrecht zur Ebene und G soll ja auch senkrecht zur Ebene sein, d.h. ich kann G als Normalenvektor der Ebene betrachten.

Also neuer Versuch:

Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{G} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = -2x_{1} - x_{2} +4x_{3} + 2p_{1} + p_{2} -4p_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

So wahrscheinlich schon eher? *g*

26.02.2008, 12:27

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Find ich auch besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2008, 12:54

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hehe prima. Augenzwinkern

Augenzwinkern

b)

Wie muss $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ in a) gewählt werden, damit die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung geht?

Hm,

müsste ich dann nicht einfach für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ den Ursprung wählen, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Weil wenn ich dann in die Koordinatenform den Ursprung einsetze, erhalte ich 0=0.

Bzw. allgemein ausgedrückt müsste ja einfach mein $\begin{eqnarray*} \delta = 2p_{1} + p_{2} - 4p_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Wäre das so die Lösung?

26.02.2008, 13:01

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso gehts smile

smile

Anzeige

26.02.2008, 15:55

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wunderbar. smile

smile

So, nun zur letzten Teilaufgabe c):

Es sei $\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt. Geben Sie eine Formel $\begin{eqnarray*} d = d(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \end{eqnarray*}$ für den Abstand von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ an.

So, nun habe ich zuerst mal die Koordinatenform einer Hilfsebene H aufgestellt, wobei ich als Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden verwende und als Stützvektor meinen Punkt Q.
Danach die Gerade mit der Hilfsebene schneiden und dann den Abstand meines Punktes Q mit dem Schnittpunkt S berechnen, welcher dann der Abstand zwischen Q und G ist.

Soweit ok?

$\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hilfsebene H:

$\begin{eqnarray*} H = -2x_{1} - x_{2} + 4x_{3} + 2q_{1} + q_{2} - 4q_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann die Gerade G in die Koordinatenform meiner Hilfsebene H einsetzen, um den Schnittpunkt zu ermitteln.

Da bekomme ich dann für t raus: $\begin{eqnarray*} t = - \frac{2}{21} q_{1} - \frac{1}{21} q_{2} + \frac{4}{21} q_{3} + \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Tja gut, anschließend dann eben $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Da habe ich dann raus:

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} \frac{4}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} - \frac{1}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} + \frac{8}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe nicht allzu viele Tippfehler drin, ist ja doch etwas Schreibarbeit das Ganze mit diesen "allgemeinen" Punkten. *g*

Ja und dann eben noch:

$\begin{eqnarray*} d(Q; S) = \mid \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{4}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} - \frac{1}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} + \frac{8}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

Naja, bin ich ja gespannt, ob das so sein muss...braucht ja doch etwas Zeit das Ganze und ich hab das Gefühl, das müsste auch irgendwie schneller/kürzer gehen? *g*
Also, falls das soweit überhaupt korrekt ist...

Die Formel könnte ich nutzen oder:

$\begin{eqnarray*} d(P; g) = \mid \vec{u} + \frac{\vec{v} * (\vec{p}-\vec{u})}{\vec{v}^{2}}*\vec{v}-\vec{p} \mid \end{eqnarray*}$

Das auf dem Zähler soll ein dicker Punkt sein für Skalarprodukt, ich weiß leider den Latexcode dafür gerade nicht.

Wobei dann für die Gerade gilt: $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \vec{u} + t*\vec{v} \end{eqnarray*}$

Freue mich über Antwort. smile

smile

26.02.2008, 16:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Also von der Idee her ist das alles richtig.
Nachgerechnet habe ich jetzt nicht, mache ich vielleicht später nochmal.
Mit einem allgemeinen Punkt ist das ganze natürlich sehr aufwändig bzw man kann am Ende wenig zusammenfassen.

Wie kommst du am Ende auf diese Formel ?

$\begin{eqnarray*} d(P; g) = \mid \vec{u} + \frac{\vec{v} * (\vec{p}-\vec{u})}{\vec{v}^{2}}*\vec{v}-\vec{p} \mid \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

26.02.2008, 16:57

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also das freut mich. Ja, wäre super, wenn du es später nochmal durchgehen könntest, ob es so ok ist. smile

smile

Stimmt diese Formel nicht? Ich hatte mir diese irgendwann mal notiert, für die "direkte" Abstandsberechnung Punkt-Gerade.

27.02.2008, 03:08

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} \frac{4}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} - \frac{1}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} + \frac{8}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sind 2 Fehler, es muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} \frac{4}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} + \frac{1}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} + \frac{16}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiterhin würde ich der Übersicht halber so vorgehen:

Der Vektor QS ergibt sich so:

$\begin{eqnarray*} \vec{QS} = \begin{pmatrix} \frac{4}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} + \frac{1}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} + \frac{16}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{17}{21} q_{1} + \frac{2}{21} q_{2} - \frac{8}{21} q_{3} + \frac{1}{7} \\ \frac{2}{21} q_{1} - \frac{20}{21} q_{2} - \frac{4}{21} q_{3} - \frac{10}{7} \\ -\frac{8}{21} q_{1} - \frac{4}{21} q_{2} - \frac{5}{21} q_{3} - \frac{2}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{21} \cdot \begin{pmatrix} -17 & 2 & -8 \\ 2 & -20 & -4 \\ -8 & -4 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}+\frac {1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -10 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setzt man also hier einen beliebigen Punkt Q ein berechnet man durch diese affine Abbildung direkt den Vektor QS und die Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Vektorkomponenten ergibt dann den gesuchten Abstand. (Länge eines Vektors= Abstand zweier Punkte)

Gruß Björn

27.02.2008, 10:42

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also bei meinem Schnittpunkt S war der eine Vorzeichenfehler ein Abschreibfehler und das andere tatsächlich Rechenfehler mit den 8/21 anstatt 16/21. Danke. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ja, so ist es wirklich übersichtlicher...aber da ja verlangt ist, adss ich eine Formel für den Abstand d = d (q1, q2, q3) für den Abstand von Q zu G angeben soll, wäre das so dann trotzdem ok, da ja zur eigentlichen Abstandsformel schon dann eben noch die paar Schritte fehlen würden (?).

27.02.2008, 11:27

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wäre das so dann trotzdem ok, da ja zur eigentlichen Abstandsformel schon dann eben noch die paar Schritte fehlen würden (?).

Sicher doch....hast das schon prima hinbekommen Freude

Freude

Von deiner anderen Abstandsformel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} d(P; g) = \mid \vec{u} + \frac{\vec{v} * (\vec{p}-\vec{u})}{\vec{v}^{2}}*\vec{v}-\vec{p} \mid \end{eqnarray*}$

habe ich noch nie etwas gehört, aber wenn du mal einen konkreten Punkt gegeben hast geht dein Ansatz mit der Hilfsebene bestimmt eh fast genauso schnell, denn bis du in dieser Formel mal die ganzen Skalarprodukte und Quotienten ausgerechnet hast bist du mit deiner Methode auch am Ziel.

Ein weiterer möglicher Ansatz wäre übrigens gewesen mit der Lotbedingung zu folgern für welchen Punkt S der Geraden g die Vekoren PS und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander stehen (null setzen des Skalarprodukts).

Edit:

Oder meinst du diese Formel hier:

http://sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html#PG2

Edit2:

Vektor PS statt PX verbessert

27.02.2008, 11:42

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mhm alles klar - schön. smile

smile

Ja, also bei der Formel soll nur ein Skalarprodukt sein und zwar auf dem Zähler der Mal-Punkt sollte ein "Skalarpunkt" sein (wie lautet denn der LaTeX-Code dafür?).

Und ja, also die Formel für z.B. den Abstand eines Punktes zu einer Ebene habe ich z.B. hier auch in meinen Unterlagen.
Und genauso wie dort die Formel für Abstand Punkt-Ebene ist, habe ich irgendwie die gepostete Formel für den Abstand Punkt-Gerade. verwirrt

verwirrt

27.02.2008, 11:58

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

wäre das so dann trotzdem ok, da ja zur eigentlichen Abstandsformel schon dann eben noch die paar Schritte fehlen würden (?).

Sicher doch....hast das schon prima hinbekommen Freude

Freude

Von deiner anderen Abstandsformel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} d(P; g) = \mid \vec{u} + \frac{\vec{v} * (\vec{p}-\vec{u})}{\vec{v}^{2}}*\vec{v}-\vec{p} \mid \end{eqnarray*}$

habe ich noch nie etwas gehört, aber wenn du mal einen konkreten Punkt gegeben hast geht dein Ansatz mit der Hilfsebene bestimmt eh fast genauso schnell, denn bis du in dieser Formel mal die ganzen Skalarprodukte und Quotienten ausgerechnet hast bist du mit deiner Methode auch am Ziel.

Ein weiterer möglicher Ansatz wäre übrigens gewesen mit der Lotbedingung zu folgern für welchen Punkt S der Geraden g die Vekoren PX und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander stehen (null setzen des Skalarprodukts).

Edit:

Oder meinst du diese Formel hier:

http://sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html#PG2

diese formel ist mir auch neu,
aber sie sollte stimmen, mit

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{UP}=\frac{(\vec{p}-\vec{u})\cdot \vec{v}}{v²}\cdot\vec{v} \end{eqnarray*}$

hat man $\begin{eqnarray*} d(P;g)=|\vec{d} | \end{eqnarray*}$

den rest sieht man im bilderl

27.02.2008, 12:04

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhm in Ordnung, aber wie auch Bjoern schon sagte, geht es mit der Formel an sich wirklich nicht unbedingt sehr viel schneller, als über den oben gegangenen Weg.

Also so habe ich die Formel hier vorliegen:

$\begin{eqnarray*} d(P; g) = \mid \vec{u} + \frac{\vec{v} \cdot (\vec{p}-\vec{u})}{\vec{v}^{2}}\vec{v}-\vec{p} \mid \end{eqnarray*}$

27.02.2008, 12:19

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

mich hat ja nur interessiert, wie man auf den plunder kommt,

verwenden werde ich dieses machwerk sicher nie.
mit dem lot oder ähnlichem geht es ja problemlos, ohne dass man sich so etwas merken muß.

zur formel: der rest ist ja reine vektoraddition unglücklich

unglücklich

27.02.2008, 13:02

SkYfiGhTeR

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja richtig...das andere ist nur Vektoraddition bei der Formel.

Naja, ich werde es auf jeden Fall auch immer über den Weg mit der Hilfsebene machen und anschließend bekomme ich den Abstand meines Punktes ja mit dem Abstand des Schnittpunkt der Geraden mit meiner Hilfsebene.
Die Formel kann man ja evtl. zur nachträglichen "Überprüfung" anweden, sofern sie ja soweit ok ist, wenn man eben wollte.

Danke. smile

smile

27.02.2008, 13:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja mein favorit ist auch das lotpunktverfahren, also der weg über eine hilfsebene.

zur kontrolle würde ich das skalarprodukt dieser monsterformel vorziehen

27.02.2008, 13:44

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde diese Methode auch am Anschaulichsten, wobei ich die Formel in der oben verlinkten Seite auch durch Pythagoras recht intuitiv finde mit dem Vektor PF als senkrechte Projektion von PR - im Gegensatz zu der "Monsterformel" von SkYfiGhTeR.

Wenn man sich diese dennoch einprägen möchte, dann würde ich sie mir in jedem Fall so umschreiben wie in der verlinkten Seite.

Gruß Björn

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »