Stetigkeit des Lebesgue-Integrals.

05.09.2005, 18:15

MisterMagister

Stetigkeit des Lebesgue-Integrals.

Hallo Leute. Ist die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}: Tr(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

stetig. Falls ja, warum?

Anmerkung:
Unter $\begin{eqnarray*} Tr(\Omega) \end{eqnarray*}$ verstehe ich den Vektorraum der Treppenfunktionen über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

05.09.2005, 19:50

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Die Stetigkeit von Abbildungen ist immer gebunden an die Topologien im Definitions- und Werteraum. Die Topologie im Werteraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wird sicher die normale euklidische sein. Aber welche Topologie, vielleicht speziell auch Metrik betrachtest du auf dem Raum der Treppenfunktionen??? verwirrt

05.09.2005, 20:54

Mathespezialschüler

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Verschoben

05.09.2005, 22:38

MisterMagister

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Tja, das weiß ich auch nicht so genau. Dann muss ich wohl etwas weiter ausholen. Eigentlich bin ich gerade dabei den Satz von Fubini und Tonelli zu verstehen. Der Beweis wurde in der Vorlesung in mehrere Teilschritte gegliedert. An der Stelle wo ich bin ist vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} f \in L^{+}(\mathbb{R}^{n+m}) \end{eqnarray*}$ . Ich habe da also eine Folge von Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} \tau_n \end{eqnarray*}$ , die fast überall gegen die Funktion f steigt, also
$\begin{eqnarray*} \tau_n \nearrow f \end{eqnarray*}$
und weiter die Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} (\tau_n)_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\tau_n)^{y} \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} (\tau_n)_x \nearrow f_x \end{eqnarray*}$ , fast überall
$\begin{eqnarray*} (\tau_n)^{y} \nearrow f^{y} \end{eqnarray*}$ , fast überall
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{n}}^{}~\int_{\mathbb{R}^{m}}^{}~f_x(y)~dy ~dx = \int_{\mathbb{R}^{n}}^{}~\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}^{m}}^{}~(\tau_n)_x(y)~dy ~dx \end{eqnarray*}$
Unter der Voraussetzung, dass das Lebesgue-Integral stetig ist, würde dann folgen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{n}}^{}~\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}^{m}}^{}~(\tau_n)_x(y)~dy ~dx = \lim_{n \to \infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}^{}~ \int_{\mathbb{R}^{m}}^{}~(\tau_n)_x(y)~dy ~dx \end{eqnarray*}$
und damit die Behauptung, da der Satz für $\begin{eqnarray*} f \in Tr(\mathbb{R}^{n+m}) \end{eqnarray*}$ bereits gezeigt ist.

05.09.2005, 22:41

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Wir müssen wohl solange nachgraben, bis wir einen gemeinsamen Symbol-Konsens gefunden haben. Momentan steht da folgendes an:

Was ist $\begin{eqnarray*} L^+ \end{eqnarray*}$ ? Ich kenne nur $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ , aber das kannst es nicht sein.

06.09.2005, 12:54

MisterMagister

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Nun ja, eigentlich haben wir das immer mit einem geschwungenem L bezeichnet, aber ich habe keins gefunden. Ich verstehe darunter den Funktionenraum der positiven, Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Das müsste eigentlich auch ein Vektorraum sein.

06.09.2005, 13:36

Leopold

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Daß Integration ein stetiger Prozeß ist, finde ich einleuchtend. Man wird wohl für die Treppenfunktionen bei der Metrik so etwas wie

$\begin{eqnarray*} d(\tau_1,\tau_2) = \sup_{\omega \in \Omega} \left| \tau_1(\omega) - \tau_2(\omega) \right| \end{eqnarray*}$

oder ähnlich brauchen. Und wenn sich die Treppenfunktionen hinreichend wenig voneinander unterscheiden, tun das auch ihre Integralwerte. Die Formalisierung (und damit die Schweißarbeit), dieses "Gefühl" abzusichern, überlasse ich dann andern. (Das ist wie beim Führerschein: Wenn man ihn gerade macht, lernt man Regeln und alle Feinheiten des richtigen Verhaltens. Wenn man dann aber lange genug Auto fährt, vergißt man das ganze Brimborium wieder und tut instinktiv das Richtige. Meistens jedenfalls. Trotzdem ist es wichtig, einmal auch in die Details eingedrungen zu sein.)

06.09.2005, 15:03

MisterMagister

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Ok. Ich hab folgende Idee:

Das Lebesgue-Integral haben wir wie folgt definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} f \in L^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$ . Das Lebesgue-Integral ist definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}^{}~f(x)~dx = \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega}^{}~\tau_n(x)~dx \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} (\tau_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} Tr(\Omega) \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} \tau_n \nearrow f \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} f = \tau \in Tr^{+}(\Omega) \subset L^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$ folgt dann doch sofort aus der Definition:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}^{}~\lim_{n \to \infty} \tau_n(x)~dx = \int_{\Omega}^{}~\tau(x)~dx = \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega}^{}~\tau_n(x)~dx \end{eqnarray*}$

Damit ist das Integral also stetig auf $\begin{eqnarray*} Tr^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \tau = \tau_+ - \tau_- \end{eqnarray*}$ gilt dies auch auf $\begin{eqnarray*} Tr(\Omega) \end{eqnarray*}$ , oder nicht?
Nichtsdestotrotz würde mich auch ein Beweis mittels Delta-Epsilon interessieren. Das krieg ich einfach nicht hin.

Anmerkung:
$\begin{eqnarray*} \tau_+ = max(\tau,0) \in Tr^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau_- = max (-\tau,0) \in Tr^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$

06.09.2005, 22:10

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Zitat:

Original von MisterMagister
Damit ist das Integral also stetig auf $\begin{eqnarray*} Tr^{+}(\Omega) \end{eqnarray*}$

Genau genommen hast du

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}^{}~\lim_{n \to \infty} \tau_n(x)~dx = \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega}^{}~\tau_n(x)~dx \end{eqnarray*}$

aber nur für $\begin{eqnarray*} \tau_n \nearrow f \end{eqnarray*}$ . Stetigkeit heißt aber, dass das für alle $\begin{eqnarray*} \tau_n \to f \end{eqnarray*}$ gilt.

07.09.2005, 07:57

MisterMagister

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Klar. Da hab ich übersehen, dass $\begin{eqnarray*} \tau_n \rightarrow f \end{eqnarray*}$ nur für fast alle $\begin{eqnarray*} x \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt. Aber eigentlich sollte das doch dennoch kein Problem sein, da ich zu jedem $\begin{eqnarray*} \tau \in Tr(\Omega) \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} (\tau_n) \in Tr(\Omega) \end{eqnarray*}$ finden kann mit:

$\begin{eqnarray*} \tau_n \end{eqnarray*}$ ist monoton steigende Folge für fast alle $\begin{eqnarray*} x \in \Omega \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tau_n = \tau \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \Omega \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja $\begin{eqnarray*} \tau_n \nearrow \tau \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau_n \rightarrow \tau \end{eqnarray*}$ .

Also ich dachte mir das ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} \tau(x) = \sum_{k=1}^l~c_k ~\chi_{Q_k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau_n(x)= \sum_{k=1}^l~(c_k)_n ~\chi_{Q_k} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (c_k)_n \end{eqnarray*}$ monoton steigend und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (c_k)_n = c_k \end{eqnarray*}$

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