Irrtumswahrscheinlichkeit (mu sigma Verteilung?)

05.09.2005, 22:00

Protector1982

Irrtumswahrscheinlichkeit (mu sigma Verteilung?)

Aufgabe:

Ein Autohändler behauptet, dass der Benzinverbrauch eines bestimmten Autos bei einer Geschwindigkeit von 120 km/h bei 9 Liter je 100 km liegt. Bei 36 Testfahrten wurden folgende Verbrauchswerte ermittelt:
8.8 8.9 9.0 8.7 9.3 9.0 8.7 8.8 9.4 8.6 8.9 8.9 8.6 8.7 8.8 8.8 8.8 9.2
8.8 8.9 8.9 8.9 9.0 9.1 8.6 8.5 8.9 9.4 8.8 8.7 9.0 9.0 8.6 8.9 9.4 9.2

Prufen Sie unter der Annahme, dass die Daten Realisierungen von unabhängigen $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$
verteilten Zufallsgrößen mit unbekannten $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ sind, ob sich die Behauptung des Händlers bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% aufrechterhalten lasst.

Hm, wie löse ich so eine Aufgabe und warum weiß ich dass ich sie so löse!
Mein Ansatz wäre, einfach das Mittel aus den Testfahrten zu berechnen. Und da 0,05% dazuzuaddieren bzw. abzuziehen, kommen dann 9l raus wäre die Aussage wahr ansonsten falsch!

05.09.2005, 22:37

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Hmm, sieht so aus, als müsstest du zunächst etwas Vorlesungsstoff nachholen: Hier geht es um einen statistischen Test.

06.09.2005, 15:22

Protector1982

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Also dann versuche ich mal mein Glück:
Als erstes brauche ich das Mittel der Tests : $\begin{eqnarray*} \overline{X_n}=\frac{1}{n}\sum X_n=\frac{311.6}{36}=8.655 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\mid \overline{X_n}-\mu_0\mid=\sqrt{36}\mid 8.655-9.0=2.066 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_n=\frac{1}{n}\sum_1^n (x_k-\overline{X})=\frac{1}{36}\cdot 8.655=0.24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_n t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}=0.24 t(0,975;35)=0.24\cdot 2,0315=0.488 \end{eqnarray*}$
Da es größer ist, müsste es den Test bestehen!
In der Musterlösung steht jedoch, dass es den Test nicht besteht unglücklich

06.09.2005, 17:49

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Zitat:

Original von Protector1982
$\begin{eqnarray*} \sigma_n=\frac{1}{n}\sum_1^n (x_k-\overline{X})=\frac{1}{36}\cdot 8.655=0.24 \end{eqnarray*}$

Die Formel ist falsch, und in die falsche Formel hast du auch noch falsch eingesetzt. Was du brauchst, ist die Stichproben-Varianz

$\begin{eqnarray*} s^2 = \frac{1}{n-1} ~ \sum_{k=1}^n (x_k-\bar{x})^2 \end{eqnarray*}$

Außerdem vermischst du "klein x" (konkrete Stichprobenwerte) mit "groß X" (Zufallsgrößen) - das geht schon mal gar nicht!

Zitat:

Original von Protector1982

$\begin{eqnarray*} \sigma_n t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}=0.24 t(0,975;35)=0.24\cdot 2,0315=0.488 \end{eqnarray*}$

Hier rechnet man dann mit $\begin{eqnarray*} s t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1} \end{eqnarray*}$ , also Produkt von Stichproben-Standardabweichung (Wurzel der Varianz!) und t-Quantil.

Zitat:

Original von Protector1982

Da es größer ist, müsste es den Test bestehen!

Schließlich die vorerst letzte Meckerei: Was heißt bei dir Test bestehen? Etwa, dass die Nullhypothese $\begin{eqnarray*} \mu=9 \end{eqnarray*}$ richtig ist? Das "größer" bedeutet in deinem Fall (wenn es denn beim Nachrechnen auch stimmt), dass diese Nullhypothese abgelehnt wird. Im Klartext: Der Verbrauch unterscheidet sich signifikant von 9 Liter pro 100 km.

24.09.2005, 22:05

Protector1982

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Kann jemand bitte vielleicht noch allgemein etwas zu Hypothesentests schreiben.
Ist mir irgendwie doch schleierhaft, wie das Grundsätzlich funktioniert unglücklich

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