Funktion mit unendlich vielen Tiefpunkten in jeder Umgebung von 0

06.09.2005, 16:24

Mathespezialschüler

Funktion mit unendlich vielen Tiefpunkten in jeder Umgebung von 0

Hallo!
Ich suche eine Funktion. Zunächst will ich mal als Beispiel die Funktion

$\begin{eqnarray*} g:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} & -1\leq x\leq 1, x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

betrachten. Ihr Graph hat in jeder Umgebung um die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Hoch-, Tiefpunkte und Nullstellen. Ich habe mir überlegt, mein Problem könnte man vll mit einer ähnlichen Funktion lösen. Ich such eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die gilt:

1. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

2. $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ist globales Minimum der Funktion.

3. In jeder Umgebung um die 0 gibt es unendlich viele (echte) Minima, deren Wert $\begin{eqnarray*} =f(0) \end{eqnarray*}$ ist.

Das "echte" soll bedeuten, dass die Funktion auf keinem Intervall konstant ist. Bis jetzt hab ich noch keine Lösung gefunden. Hat jemand ne Idee oder nen Tipp?

Gruß MSS

06.09.2005, 18:05

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nimmst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+g(x) \end{eqnarray*}$ ? Oder übersehe ich jetzt etwas? verwirrt

06.09.2005, 19:28

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, vll einfach deshalb, weil ich nicht drauf gekommen bin. Augenzwinkern

Ich hatte auch noch vergessen, $\begin{eqnarray*} f(-1)=f(1) \end{eqnarray*}$ zu erwähnen, aber das hätte ich auch anders korrigieren können. Danke, Arthur, für die einfache Lösung. smile

Achja, noch was ergänzendes: Ich möchte noch so eine Funktion, nur dass diesmal in jeder Umgebung jedes Minimums unendlich viele andere Minima liegen. Idee? Augenzwinkern

Gruß MSS

06.09.2005, 20:55

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich möchte noch so eine Funktion, nur dass diesmal in jeder Umgebung jedes Minimums unendlich viele andere Minima liegen. Idee? Augenzwinkern

Hmm, ich könnte mir vorstellen, dass eine solche Funktion nicht stetig ist, sobald sie ein echtes Minimum besitzt. Ist aber nur Intuition, ohne mathematische Begründung.

06.09.2005, 21:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich möchte noch so eine Funktion, nur dass diesmal in jeder Umgebung jedes Minimums unendlich viele andere Minima liegen. Idee?

Ach je, wozu brauchst du denn sowas! geschockt

Ideen hatte ich schon, hat nur alles nicht geklappt. Momentan bin ich mir nicht mal sicher, ob es so eine Funktion überhaupt gibt... verwirrt

06.09.2005, 21:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Momentan bin ich mir nicht mal sicher, ob es so eine Funktion überhaupt gibt... verwirrt

Das frage ich mich auch ^^
Naja, ich muss meiner Lehrerin noch ein ordentliches Gegenbeispiel liefern, da wäre eine solche Funktion nicht schlecht. Augenzwinkern

Gruß MSS

06.09.2005, 22:09

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal drüber nachgedacht. Da ich die Sätze nicht mehr ganz auswendig weiß, sondern nur grob im Kopf habe, solltet ihr mich korrigieren bzw. ergänzen.
Deine Funktion soll diffbar sein, also stetig. Verschieben wir die Funktion mal so weit entlang der y-Achse, so dass das Minimum gleichzeitig Nullstelle ist. Dann gibt es (Satz?) ein Intervall um die Nullstelle, in denen die Funktionswerte ungleich null sind. Das würde aber deiner Forderung widersprechen.

06.09.2005, 22:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Siehe z. B. der oben von Arthur für das andere Problem vorgegebenen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+g(x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.09.2005, 22:37

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dann frage ich mich jetzt, in welchem Zusammenhang der vermeintliche Satz gesagt wurde...

Neue Frage »

Antworten »

Funktion mit unendlich vielen Tiefpunkten in jeder Umgebung von 0

Verwandte Themen