e-Funktion

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Anton Auf diesen Beitrag antworten »
e-Funktion
Hallo Leute!! Kann mir jemand sagen wie man am einfachsten nachweißen kann, dass die e- Funktion f(x)=e^x keine Nullstellen hat und streng monoton steigen ist.
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Exponentialfunktion hat doch eine Nullstelle Augenzwinkern Und zwar bei . Weil gilt:

Das kannst du dir auch ganz einfach klar machen: für positive x wächst die Exponential-Funktion schnell ins Unermessliche. Für x = 0 ist sie 1. Für x kleiner 0 gilt dann z.B.: .

Man bekommt also hier auch immer einen Bruch - von dem weder Zähler noch Nenner negativ werden können. Nur bei dem Grenzwert geht die Funktion eben gegen 0.

Die Monotonie lässt sich durch diese Eigenschaft leicht beweisen.

Da steigt die Funktion immer streng monoton.

Gruß,
Thomas
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry Thomas aber ich muss dir leider widersprechen
Die E-Funktion hat keine Nullstelle.
Deine Grenzwertberechnung mag zwar richtig sein...aber trotzallem berührt der Graph nie im Leben die x-Achse.
Die x-Achse ist lediglich die waagerrechte Asymptote.
Andy
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist, wenn man zur Menge der reellen Zahlen dazunimmt? Dann geht! Augenzwinkern Wobei unser Prof mal gemeint hat, da könnten wir auch einen Apfel dazutun, der täts auch ...
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die E-Funktion (ich bezeichne sie im Folgenden mit exp) keine Nullstelle hat, ist relativ einfach zu beweisen (vergiss den Kommentar von Thomas lieber).
Bekanntlich gilt ja exp(0)=1.
Angenommen, es gäbe eine Zahl z mit exp(z)=0.
Dann müsste gelten (Potenzgesetze beachten)
1=exp(0)=exp(z-z)=exp(z)*exp(-z)=0, da ja exp(z) als Null angenommen war.
Das ist offensichtlich ein Widerspruch und somit kann die E-Funktion (auch im Komplexen) keine Nullstelle haben.
Gruß
Philipp
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das keine "richtige" Nullstelle ist, ist mir schon klar. Allerdings wollte ich damit ausdrücken, dass die E-Funktion für x gegen minus unendlich halt 0 wird.

Gruß,
Thomas
 
 
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