Integralproblem

07.09.2005, 13:21

Wurst-Willy

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Integralproblem

Hi, hab hier ein Problem bei der Bestimmung des folgenden Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi}{2} }~\mid sin x \mid ~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \mid sin x \mid \end{eqnarray*}$ aufleite komme ich auf $\begin{eqnarray*} \mid - cos x \mid \end{eqnarray*}$ und bei der Rechnung dann auf ein sehr kleines Ergebnis, dass nicht stimmen kann. Hab ich bei der Aufleitung eventuell was falsch gemacht?

Mfg
Wurst-Willy

07.09.2005, 13:29

Xytras

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Hmmm - da Du in |sin(x)| ne Stelle hast, wo das nich differenzierbar ist, wuerde ich mir mal anschauen wo in Deinem Intervall sin(x) positiv und wo negativ ist und das integral damit dann in 2 integrale (ueber sin(x) und ueber -sin(x)) aufteilen...

07.09.2005, 13:31

Mazze

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Also erstmal

die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar. Deshalb kannst du

| - cos(x) |

nicht als Stammfunktion zu |sin(x)| annehmen.

Ich würde den Betrag auftrennen, d.h überlege dir wann sin(x) negativ wird. Entsprechend stellst Du dann das Integral auf.

07.09.2005, 13:39

Wurst-Willy

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Also von -pi/2 bis 0 ist es ja negativ und von 0 bis pi/2 positiv.

Und wie soll ich jetzt daraus das Integral aufstellen? verwirrt

verwirrt

07.09.2005, 13:46

Xytras

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naja - was aendert der Betrag auf dem Intervall von -pi/2 bis 0 an der funktion und was aendert er auf dem Intervall von 0 bis pi/2 an der Sinusfunktion??

und:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx= \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} c \in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$

07.09.2005, 13:48

Mazze

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Was würdest Du machen wenn Du den Flächeninhalt den sin(x) von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ mit der X-Achse bildet berechnen wolltest?

naja, was solls die Lösung steht ja jetzt da.

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07.09.2005, 13:59

Wurst-Willy

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Achso, da die Kurve ja nur positiv ist kann ich auch von 0 bis pi rechnen, oder?

07.09.2005, 14:07

Mazze

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Das wäre dann ein anderer Ansatz. Aber dann musst Du mir auch begründen warum

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |sin(x)| dx = \int_{0}^{\pi}sin(x) dx \end{eqnarray*}$

ist. Der Weg ginge auch.

07.09.2005, 23:39

Wurst-Willy

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Irgendwie komm ich mit dieser Aufgabe immer noch net klar... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Kann mir da nicht nochmal jemand genau zeigen, was ich da zu tun hab?

mfg
Wurst-Willy

07.09.2005, 23:51

Mazze

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Also Du sollst folgendes Integral lösen

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |sin(x)| dx \end{eqnarray*}$

Die Funktion | sin(x) | beschreibt Halbkreise auf der X-Achse. Ich denke das ist dir klar oder?

Die Betragsfunktion ist nicht differentierbar. Das heißt Du wirst keine Funktion f(x) finden so das | f(x) | abgeleitet | sin(x) |. Du kannst aber
aufgrund der Intervalgrenzen die Funktion | sin(x) | in die Teile

sin(x) und -sin(x) aufteilen.

Dann musst Du nur noch die Grenzen richtig wählen und die beiden Teilintegrale aufaddieren. Zeichne es dir mal auf, und dann überlege dir an welcher stelle Du -sin(x) verwendest (also in wlechen grenzen).

Zeichne dir am besten sin(x) auf und dann | sin(x) | dann sollte dir da eine gewisse Symmetrie im benannten Interval auffallen Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2005, 00:09

Wurst-Willy

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Zitat:

Die Funktion | sin(x) | beschreibt Halbkreise auf der X-Achse. Ich denke das ist dir klar oder?

Hmm, irgendwie ist mir das net so klar. Kann da irgendwie keine Halbkreise sehen verwirrt

verwirrt

.

Zitat:

Die Betragsfunktion ist nicht differentierbar. Das heißt Du wirst keine Funktion f(x) finden so das | f(x) | abgeleitet | sin(x) |.

Ok, das versteh ich smile

smile

.

Zitat:

Du kannst aber aufgrund der Intervalgrenzen die Funktion | sin(x) | in die Teile sin(x) und -sin(x) aufteilen.

Müsste ich diese Teile denn dann noch aufleiten?

Ich weiss ich bin schon n schwieriger Fall...sorry für die ganzen Fragen und thx für die Hilfe Freude

Freude

.

Mfg
Wurst-Willy

08.09.2005, 00:13

Mazze

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Zitat:

Müsste ich diese Teile denn dann noch aufleiten?

Genau das ist der Knackpunkt. Du musst beide Funktionen in geeigneten Intervallen aufleiten.

08.09.2005, 00:28

Wurst-Willy

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Hmm vielleicht $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}~sin x~dx = [-cos x]_{0}^ \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ??

Und das andere Intervall dann mit -sinx.

Obwohl ich dann auf merkwürdige Ergebnisse komme. Vielleicht bin ich auch nur zu blöd nen Taschenrechner zu bedienen...

08.09.2005, 00:30

Mazze

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das erste Integral ist schonmal richtig. Jetzt stell das zweite auf. Und mein Tip:

Die Aufgabe lässt sich komplett ohne Taschenrechner rechnen weil es nur Einsen und Nullen gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2005, 00:38

Wurst-Willy

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Ok, das zweite wäre dann $\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-\pi }{2} }^{0}~-sinx~dx = [cos x]_{-\frac{\pi }{2} }^0 \end{eqnarray*}$

Ohne Taschenrechner? Erklär mal geschockt

geschockt

08.09.2005, 00:40

Mazze

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ok du hast jetzt beide Integrale , nun musst Du die Ergebnisse nur noch addieren. Und ja es ist sehr einfach ohne Taschenrechner. Aber egal. Rechne erstmal.

08.09.2005, 00:40

Wurst-Willy

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Das mit dem TR hat sich erledigt. Ich Dullie ich smile

smile

08.09.2005, 00:42

Mazze

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Ergebnis?

08.09.2005, 00:47

Wurst-Willy

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1 + 1 = 2

Big Laugh

Oh man, ich Peilo. Ich hab die ganze Zeit anstatt mit Winkeln zu rechnen, ganze Zahlen benutzt Hammer

Hammer

.

Kein Wunder, dass ich durch diesen Zahlen-Wirrwarr so verunsichert war. Naja, ist wohl net mein bester Tag :-p.

Danke für deine Geduld smile

smile

.

08.09.2005, 00:50

Mazze

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2 ist richtig. Geht doch smile

smile

08.09.2005, 01:20

Wurst-Willy

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Ich hab da noch ein weiteres kleines Problem. Folgende Funktion soll ich aufleiten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x^{2}+1)^{2} }{2x^{3}}dx \end{eqnarray*}$

Wäre folgende Umstellung noch richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^{2}+1)^{2}*(0,5x^{-3})dx \Rightarrow f(x)=(x^{4}+2x^{2}+1)*(0,5x^{-3})dx \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 0,5x + x^{-1} + 0,5x^{-3}dx \end{eqnarray*}$

Die aufgeleitete Funktion wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{4}x^{2}- \frac{1}{4}x^{-2} \end{eqnarray*}$

Ich finde das sehr merkwürdig. Da sitzt doch bestimmt n Fehler drin, oder?

08.09.2005, 01:56

Mazze

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Leite es doch einfach ab. Es muss dann die ursprüngliche Funktion rauskommen.

08.09.2005, 02:06

Wurst-Willy

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Joa, da fehlt dann dieses x^-1. Aber das lässt sich irgendwie schlecht aufleiten. Oder wo liegt da sonst der Hund begraben?

08.09.2005, 08:17

n!

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und du bist sicher,dass ihr noch nicht wisst wie die Stammfunktion von x^-1 lautet? (stichwort ln?)

08.09.2005, 09:35

Leopold

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Nur der Vollständigkeit halber eine Stammfunktion des Betragssinus:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\left| \sin{x} \right|~\mathrm{d}x \ = \ 2k + (-1)^{k+1} \cos{x} \ \ \text{mit} \ \ k = k(x) = \left\lfloor \frac{x}{\pi} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

08.09.2005, 12:04

Wurst-Willy

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Ok, ich habs verstanden. Nochmals danke für die ganze Hilfe.

mfg
Wurst-Willy

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