Vektorrechnung: Aus Dreieck mach viereckiges Parallelogramm

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27.02.2008, 15:29	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung: Aus Dreieck mach viereckiges Parallelogramm Hallo, folgende Aufgabe zur Vektorrechnung: Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. A(21\|-11\|43), B(3\|7\|-8), C(0\|4\|5) Das ganze ist ja nun ein Dreieck. Rausfinden muss ich ja den Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{O_d} \end{eqnarray}$ . Ich habe mir das Dreieck skizziert und zunächst ganz normal beschriftet. A ist unten links, B rechts davon und C ist etwas versetzt über B. Die Seiten habe ich als Vektoren aufgeschrieben, so dass Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ von B zu C geht. Um jetzt den Ortsvektor D rauszukriegen, muss ich doch den Vektor a ausrechnen und dann dazu den Ortsvektor a addieren, oder? Dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \vec{O_c} - \vec{O_b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ortsvektor D ist dann Ortsvektor a + Vektor a, da komme ich dann auch 3\|7\|-8 Ich bin bei der Vektorrechnung noch total unsicher. Stimmt mein Ergebnis?
27.02.2008, 15:33	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast am Ende aber nicht den Ortsvektor zu A genommen, sondern den zu C
27.02.2008, 15:36	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie? Bin jetzt schon total verwirrt davon...
27.02.2008, 15:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du hast erst gesagt du möchest gerne den Vektor BC an den Ortsvektor zum Punkt A dransetzen. Aber auf dein Ergebnis kommt man am Ende nur wenn man den Vektor BC an den Ortsvektor zum Punkt C setzt.
27.02.2008, 15:51	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich habe jetzt mal die Formel für $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ direkt in $\begin{eqnarray} \vec{O_d} = \vec{O_a} + \vec{a} \end{eqnarray}$ eingesetzt und komme da auf: D(18\|-14\|56). Stimmt das denn?
27.02.2008, 15:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderes als ein viereckiges Parallelogramm habe ich noch nirgends gesehen mY+
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27.02.2008, 15:56	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar stimmt das, deine Anfangsidee war ja auch exzellent - nur hast du sie dann aus unerfindlichen Gründen doch nicht so umgesetzt wie du eingangs beschrieben hattest. So sieht das dann aus:
27.02.2008, 16:04	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay! Danke! Hoffe, dass ich in Zukunft sicherer bei der Vektorrechnung bin. Was mir zum Beispiel unklar ist, warum der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ einmal zwischen BC und AD auftritt. Absolut gesehen ist die Verschiebung ja nicht gleich. Oder geht es hier um die relative Verschiebung, also z.B. 2 Schritte nach oben, 3 nach hinten und 5 nach oben? PS: Womit hast du das so schön gezeichnet?
27.02.2008, 16:12	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren bezeichnet man immer dann als gleich bzw gehören zur selben Vektorklasse wenn sie sowohl die gleiche Länge haben als auch in dieselbe Richtung zeigen. BC und AD müssen in einem Parallelogramm definitiv die gleiche Länge haben und zeigen auch beide als Parallelen in dieselbe Richtung. Deshalb sagt man auch dass der Vektor BC, den du ja durch die gegebenen Eckpunkte schon berechnen kannst, den Vektor AD repräsentiert, wodurch der Ortsvektor zum gesuchten Punkt D durch deine erwähnte Vektorgleichung dargestellt werden kann. Die Berechnung von Koordinaten einen Punktes funktionert übrigens in der analytischen Geometrie sehr häufig auf diesem Weg, also dadurch, den Ortsvektor zu dem gesuchten Punkt durch andere (bekannte) Vektoren darzustellen. Zeichnen lassen habe ich das Parallelogramm hiermit: http://emath.de/Lernsoftware/Lernsoftwar...-Programm.shtml Gruß Björn

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