Suche nach einem ganz bestimmten Wendepunkt

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Heyho Auf diesen Beitrag antworten »
Suche nach einem ganz bestimmten Wendepunkt
Hallo, ich bräuchte nochmals eure Hilfe.

Wir haben folgende Funktionsschar besprochen, wobei natürlich k ein Parameter darstellt:





Ich habe sie untersucht und habe die Formel rausgefunden, auf der alle Wendepunkt liegen, nach meinen Berechnung sieht sie so aus:



Ich soll nun den Wendepunkt finden ( vll sind es ja auch 2 ), die von dem Punkt P(0/2) am geringsten entfernt sind.

Unser Lehrer hat uns jedoch eine kleine Hilfe gegeben. Er behauptet ( falls es denn stimmen sollte ^^ ), dass man zuerst die linerare Funktion bestimmen sollte, die durch den Punkt P und den gesuchten Wendepunkt verläuft.

Allerdings weiß ich nicht wirklich, wie ich das schaffen soll. Vielleicht kennt ja jemand von euch einen kleinen Tip, wie ich am besten beginnen soll. smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht fängst du mal an, das genauer zu erklären

soll dieses kreuz ein mal sein? verwende "\cdot" oder * dafür
hat du einschränkungen für k?

poste auch mal deine ableitungen, mit denen du auf wendepunkte kommst
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung, dass ich nicht an alles gedacht habe, denn ich habe zum 1. Mal mit dem Editor gearbeitet. Es lag nicht an Faulheit, sondern schlichtweg an Unerfahrenheit.

1. Ich habe das Malzeichen ergänzt, wie du es wolltest.

2. Für k gibt es keine Eingränzungen.

Ursprungsfunktion:



1. Ableitung:



2. Ableitung:



3. Ableitung:



Ich hoffe, ich habe es jetzt so richtig gemacht.

gruß



Heyho


edit: ich habe überall noch f(x) hinzugefügt! smile (derkoch)
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

also die ableitungen sind schonmal richtig.
bedingung für wendepunkte sollten klar sein:


was bedeutet das für deine aktuelle schar ?
was macht man in soeinem fall ?
wie ist dein ansatz ?

diese fragen müsstest du dir selbst stellen dann beantworten und du bist ein entscheidentes stück weiter Augenzwinkern

servus
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja die Bedingungen für Wendestellen kenne ich. Die Wendestellen meiner Schar liegen bei:





Natürlich gilt:

Das habe ich bewiesen. Ich habe, wie oben auch schon geschrieben, eine Funktion aufgestellt, die durch alle Wendepunkte der Schar geht. Die lautet:



So, soweit bin ich schonmal.....smile

Aber wie finde ich denn jetzt den Wendepunkt, oder besser gesagt den dazugehörigen K-Wert, der am nächsten an dem Punkt P(0/2) dranliegt.

Ich habe es schonmal mit Gleichsetzung probiert, aber ich muss einen fehler gemacht haben.... traurig

Sorry, wenn ich eine etwas lange Leitung habe.....

gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heyho
Die lautet:


meinst du damit y=2/3 x^2 und soll das die "ortskurve" der wendepunkte sein!?
als ortskurve wäre es richtig


wie bestimmst du denn allgemein den abstand einer funktion von einem punkt?
also z.b. den abstand von f(x)=1/x (x>0) vom nullpunkt?
weißt du überhaupt, was der abstand einer funktion zu einem punkt bedeutet?
 
 
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, also die Formel, wie man den Abstand zwischen 2 Punkten errechnet hatten wir:



Hoffe, dass ich die jetzt aus dem Gedächniss richtig hingeschrieben habe. Was du jetzt aber mit dem Anstand von einer Funktion zu einem Punkt meinst, weiß ich nicht und ich bin mir auch sehr sicher, dass wir so etwas noch nicht behandelt haben.

Allerdings geht es ja bei meinem Problem auch um den Abstand zwischen 2 Punkten.......auch, wenn ich den einen nicht kenne. smile

gruß & Danke für eure Hilfe bis hierher
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldigung, da hatte ich überbewertet

dann ist die sache klar: berechne den von k abhängenden abstand ALLGEMEIN mit deiner formel
es gibt dann also eine ABSTANDSFUNKTION in abhängigkeit von k
d(k)=.....

suche das MINIMUM dieser funktion
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mal versucht und das ist dabei rausgekommen. Ist dieser Ansatz richtig:



Eingesetzt habe ich den Punkt P(0/2) und die Werte aus der Ortsfunktion, so wie du sie nennst.

EDIT: MH ich hab mich doch noch vertan, in meiner Formel kommt nun ja gar kein k vor......

gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

setze für x den x-wert deines (k-abhängigen) wendepunktes ein,
für y dann den.... na?
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Hoffe ich sag jetzt ncihts falsches bei der großzügigen Hilfe:



gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich den Y-WERT deines allgemeinen wendepunktes

da du noch zögerst: VERSTEHST du, warum du diese werte einsetzen musst?
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Ist meine Antwort richtig? ( Müsste sie eigentlich ^^ )

Ja ich verstehe es, denn wenn ich den allgemeinen x bzw y des Webdepunktes einsetzte, der von k anhängt, bekomme ich in der 1. Ableitung, dann den günstigsten wert für k, und dann kann ich den wendepunkt damit berechnen. smile

gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, war schon mehr als ich wissen wollte
aber an sich stimmt es

setz mal ein und poste deine formel d(k)
als tipp: d(k) hat die gleichen extrema wie [d(k)]^2, denn d(k)>0 und damit sorgt die wuirzel auf der rechten seite nur für eine streckung der kurve mit dem gleichen minimum wie das ganze ohne wurzel

dann kannst du viel leichter abletien
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Meine aufgelöste Formel ( in der die Wurzel nicht mehr da ist, dank deinem Tip ) sieht so aus:



Mein günstigstes k ist -0,24343 bzw +0,24242.....

Kann aber gut sein, dass ich mich verrrechnet habe...unglücklich

Edit: habe ich die 1. Ableitung, denn richtig gebildet? ich habe dort:



gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wo kommt denn diese k^4-formel her?

d^2(k)=[y1-y0]^2+[x1-x0]^2=f(k) [funktion umbenannt, weil d^2 so ein dummer name ist]
dabei sind x1,y1 deine gegebenen punktkoordinaten, y0,x0 deine allgemeinen wendepunktkoordinaten
da kommt kein k^4 her


sag mir bitte, wie du gedacht und gerechnet hast
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Aber, wenn ich meine allgemeine y-Koordinate:



in die Formel einsetze, wird das ganze doch noch hoch 2 genommen. Dann müsste doch daraus dann:



werden?

gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

arghl, du hast natürlich recht Gott

aber vergiss nicht, dass du (y1-y0)^2 berechnen musst, also vor dem quadrieren noch die 2 abziehen
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 abziehen? Ich verstehe schon wieder nicht ganz was du meinst.

Man kann doch 2 und -2/27k² gar nicht miteinander verrechnen, oder doch?

Und eine generelle Frage:

Wenn das hier die Ursprungsfunktion ist:



Ist das hier dann die korreckte Ableitung:



gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein ableitung wäre eh nicht richtig

aber bei einer abstandsfunktion musst du die DIFFERENZ der x- bzw. y-werte quadrieren
(x1-x0)^2, (y1-y0)^2

x0=0, y0=2 das sind deine punktkoordinaten
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Formel kenne ich schon und nach meinen Berechnungen ( die leider aber nicht stimmen müssen ) sieht sie dann so aus:



Aber wie leitet man diese denn nun ab? Das weiß ich wirklich nicht.

Schonmal vielen Dank für die tolle Hilfe, die ich hier erhalten habe!

gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du da vielleicht [y1-y0]^2=y1^2-y0^2 gerechnet???

wenn ja;: schäme dich, 2. binomische formel!
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Also eigentlich habe ich daran gedacht, hier meine Rechenschritte:







gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

argh, ich rede einen stuss zusammen heute
ja, das scheint doch richtig zu sein

ich glaube, da sollte mal wer anders weitermachen Augenzwinkern




nichtsdestotrotz musst du bei der ableitung aufpassen

du musst beim ableiten doch die -4 auch noch als vorfaktor nach vorne ziehen und danach dann um eins erniedrigen
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast recht, ich hatte das irgendwie vollkommen vergessen. Richtige Ableitung ist:



Optimale K's sind: - bzw. + 0,24343

Der Wendepunkt liegt bei 1,36931/1,25002 bzw. -1,36931/1,25002

Kann mir das jemand bestätigen?

BTW: Die Ursprungsformel, wo ich die optimalen K's ergänzt habe, lautet:



gruß
Heyho
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay, wollte gestern abend noch antworten, aber dann hatte sich das netz aufgehängt

also ich hab das in ruhe nachgerechnet, deine stellen für d'=0 stimmen
hast du aber schon überprüft, ob dass je ein min oder max ist?
f''(....) prüfen

mfg jochen
Heyho Auf diesen Beitrag antworten »

Ja habe ich natürlich und richtig war es auch... smile

Nochmal vielen Dank für eure nette Hilfe.

gruß
Heyho
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