allg. Ebenengleichung und Normalvektorsatz

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MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »
allg. Ebenengleichung und Normalvektorsatz
hi,

ich würde gerne wissen, wie man den Normalvektorsatz begründen bzw. beweisen kann.

Ich weiß zwar, dass man über die Normalvektorform der Ebene eine Gleichung herleiten kann, die der allg. Ebenengleichung extrem ähnlich sieht, aber daraus kann man doch nicht einfach schließen, dass die allg. Ebenengleichung mit dieser hergeleiteten Formel identisch ist, woraus dann der Normalvektorsatz folgt.

mfg MrPSI
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo schlichte frage meinerseits:
was ist der Normalvektorsatz? schreib den hier bitte mal rein, den namen kenne ich überhaupt nicht
 
 
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich mal das gemacht, was ich selbst nicht gern mag, nämlich mit Fachbegriffen um mich geworfen Augenzwinkern .

Normalvektorsatz: die Koeffizienten der Koordinaten in der allg. Ebenengleichung bilden den Normalvektor der Ebene.

Im Mathebuch hat man das so erklärt:
Mithilfe der Normalvektorfomr der Ebene hat man eine Gleichung hergeleitet, die der allg. Ebenengleichung extrem ähnlich sieht.
Anstatt a, b und c steht dort bei den Koordinaten halt n1, n2 und n3.

Nur meine Gedanke ist eben, dass man daraus nicht schließen kann dass die beiden Gleichungen wirklich identisch sind. Deshalb möchte ich gerne eine genauere Begründung oder eventuell einen Beweis dieser Identität sehen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur meine Gedanke ist eben, dass man daraus nicht schließen kann dass die beiden Gleichungen wirklich identisch sind. Deshalb möchte ich gerne eine genauere Begründung oder eventuell einen Beweis dieser Identität sehen.

das verstehe ich nicht
was willst du da beweisen?

nicht den satz selbst, dass also die koeffizienten als vektor gelesen normal auf der ebene stehen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das einzige was ich da gefunden habe, ist:
normal...

und in "analogie" würde ich sagen: mit der normalvektorform bildest du das skalarprodukt (=0) mit JEDEM vektor der (gesuchten) ebene, und daraus folgt, dass du diese ebene beshreibst, oder so
ich sehe dein problem nicht so ganz
werner
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich will begründet haben, wieso die allg. ebengleichung mit der gleichung, die aus der normalvektorform folgt, übereinstimmt,und somit die Koeffizienten der allg. ebenglecihung als Koordinaten des Normalvektors gelten.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich rate mal so drauf los und hofe daß ich glaube zu verstehen , was MRPsi möchte, falls das falsch ist könnt ihr ja löschen:


normalenform der ebene:


















MML Auf diesen Beitrag antworten »

Ist normalvektor in der ebene nicht wie folgt:..?

n.x=n.p ( NVF..NormalVekorForm)

(war ja auch was ich gefragt hatte mal. "normale"(!) und mein Vorzeichen-Problem/frage...)
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von derkoch


aber dafür hast du ja schon vorausgesetzt, dass die beiden Gleichungen identisch sind, was man daran erkennt:

Du hast hier aus dem einem das andere gefolgert.
Und noch dazu hast du vorausgesetzt, dass die Ergebnisse(also die "d"s )bei beiden Gleichungen gleich groß sind.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

dann mal rückwärts, (falls Normalenform unbekannt)
Ebene: a*x+b*y+c*z+d=0

n:=(a;b;c), davon seien alle Komponenten <> 0

(d/a;0;0), (0;d/b;0), (0;0;d/c) liegen dann auf der Ebene,

(d/a;-d/b;0), (d/a;0;-d/c) und (0;d/b;-d/c) sind mögliche 'Richtungsvektoren'

für alle drei Richtungsvektoren gilt
(a;b;c)*(...) = 0

somit n vertikal zu E
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Originial von Poff
für alle drei gilt
(a;b;c)* ... = 0


kannst du mir mal das näher erläutern? Versteh das von der Schreibweise und so nicht ganz, was soll das darstellen und vervollständigung wär auch gut.


P.S.: Schonmal ein Danke dafür, dass ihr euch für meine Frage Zeit nehmt.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das sind Vektoren, waagerecht anstatt senkrecht dargestellt.


Vervollständigen, ...
für alle drei 'Richtungsvektoren' gilt: ...
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

wieso sind a, b und c auf einmal Koordinaten von Richtungsvektoren und mit was wird dieser Richtungsvektor multipliziert(wahrscheinlich mit einem auf diesem Vektor orthogonalen Vektor, da ja null rauskommt).
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

lies doch mal genau, steht doch alles da :-o

(d/a;0;0), (0;d/b;0), (0;0;d/c) mal in die Ebenengl. einsetzen,
dann siehst dass die drauf liegen.

Die Differenzen zweier solcher Punktvektoren sind dann in der Ebene
liegende 'Richtungsvektoren', jeweils 2 sind lin. unabhängig.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

nachdem du editiert hast, hab ich was bemerkt:

n:=(a;b;c)

aber damit hast du ja definiert, dass die Koeffizienten den Normalvektor darstellen. Aber sowas definiert man doch nicht, sondern das gehört zu den Sachen, die begründet gehören! unglücklich

Ich würde gerne eine Begründung haben, wieso die Koeffizienten die den Normalvektor darstellen, keine Definition.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

nun mach aber mal einen Punkt.

Hier ist der Beweis geführt, dass n vertikal E ist und NICHT umgekehrt.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ich will doch nicht bewiesen haben, dass der Normalvektor normal auf E steht, denn das ist per Definitonem so.

ich wäre aber sehr erfreut, wenn mir jemand eine Begründung liefern kann, wieso die allg. Ebenengleichung mit der aus der Normalvektorform der Ebenen abgeleiteten Gleichung zu 100% identisch ist oder anders gesagt, wieso die Koeffizienten der allg. Ebenengleichung den Normalvektor angeben.

Sorry, aber ich glaub du hast die Frage falsch verstanden.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
ich will doch nicht bewiesen haben, dass der Normalvektor normal auf E steht, denn das ist per Definitonem so.

Sorry, aber ich glaub du hast die Frage falsch verstanden.



nix da, hier wurde nicht bewiesen dass ein Normalenvektor senkrecht
auf was steht, ...

sondern es wurde bewiesen dass (a;b;c) senkrecht auf E steht
und DESHALB der Normalenvektor ist.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mirl leid. Hast ja recht.
Ich habs mir heut morgen nochmal durch den Kopf gehen lassen und hab dann erkannt, was das Ganze soll.

Und noch ein Danke für deinen Beweis.
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