Gleichungssystem (4x3 Matrix) lösen

28.02.2008, 17:55

SkYfiGhTeR

Gleichungssystem (4x3 Matrix) lösen

Hallo,

eigentlich keine schwere Sache, aber ich weiß gerade nicht mehr wirklich wie ich vorzugehen habe.

Die Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Für welche rechten Seiten von der Form $\begin{eqnarray*} b = (b_{1}, b_{2}, 0, 0)^{T} \end{eqnarray*}$ hat das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ Lösungen und wie lauten diese dann?

So, normalerweise funktioniert das Ganze bei z.B. einer 3x3 Matrix mit dem Dreiecksverfahren, also Nullen erzeugen.
Wie muss ich denn hier nun vorgehen, wenn ich vier Zeilen habe bzw. was muss mein "Ziel" sein bei dieser Matrix?

Danke schon mal.

28.02.2008, 17:58

klarsoweit

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RE: Gleichungssystem (4x3 Matrix) lösen
Du machst das analog und bringst die um den Vektor b erweiterte Matrix auf Zeilenstufenform.

28.02.2008, 18:15

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm...also letzte Zeile dann nur Nullen, dritte Zeile eine Zahl, zweite Zeile zwei Zahlen und erste Zeile drei Zahlen?

So bekomme ich dann meine $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2}, x_{3} \end{eqnarray*}$ raus?

29.02.2008, 01:33

WebFritzi

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Mach es halt so wie immer. Das ganze nennt sich übrigens "Gauß-Verfahen".

29.02.2008, 08:51

SkYfiGhTeR

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Hallo,

ja klar...habe ich ja vor. Ich wollte nur wissen/nachfragen, ob es dann immer so ist, dass eben entsprechend einige Zeilen komplett nur aus Nullen bestehen, sonst wird es ja nichts mit Zeilenstufenform, sofern es eben keine quadratische Matrix ist.
Alles klar, dann werde ich es einfach mal so machen und entsprechende Ergebnisse dann posten in der Hoffnung, dass sie korrekt sind. *g*

29.02.2008, 09:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Ich wollte nur wissen/nachfragen, ob es dann immer so ist, dass eben entsprechend einige Zeilen komplett nur aus Nullen bestehen, sonst wird es ja nichts mit Zeilenstufenform, sofern es eben keine quadratische Matrix ist.

Ja, wenn die Matrix mehr Zeilen als Spalten hat.

29.02.2008, 11:13

SkYfiGhTeR

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Hi,

alles klar.

Also ich habe nun folgende Ergebnisse erhalten:

$\begin{eqnarray*} 0 = 5,5 b_{1} + 5,5 b_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{3}{2} b_{1} + \frac{7}{6} b_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = -\frac{1}{2} b_{1} - \frac{1}{6} b_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = -\frac{1}{3} b_{2} \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

29.02.2008, 11:18

WebFritzi

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Wie wärs, wenn du mal die Probe machst anstatt uns rechnen zu lassen?

29.02.2008, 11:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Wäre das so richtig?

Wenn ich das richtig sehe, paßt deine Lösung nicht zur letzten Zeile der Matrix. Obendrein hast du nur eine spezielle Lösung des inhomogenen GLS angegeben. Da fehlt noch die allgemeine Lösung des homogenen GLS.

29.02.2008, 12:01

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm...ja also in die erste Zeile stimmt von der Matrix bei der Probe.
Ich glaube da gibts wohl irgendein Problem mit dem x3 - warum auch immer.

Ich bin genauso vorgegangen wie bei quadratischen Matrizen.
Und wie ist das mit allgemeiner Lösung? Die Lösung hier wäre doch jetzt allgemein, je nachdem was man eben für b1 und b2 einsetzt, ergeben sich die Variablen x1, x2 und x3 oder?

Hier mal ein paar Zwischenschritte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} * \vec{x} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}+b_{1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & -4 \end{pmatrix} * \vec{x} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}+b_{1} \\ -2b_{1} \\ -3b_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} * \vec{x} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}+b_{1} \\ -9b_{1} -7b_{2} \\ -8b_{1} -5b_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} * \vec{x} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}+b_{1} \\ -9b_{1} -7b_{2} \\ 5,5b_{1} +5,5b_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann ergeben sich die Gleichungen von oben.
Wo hier jetzt ein Rechenfehler ist, konnte ich bisher nicht nachvollziehen/finden.
Aber zumindest die Gleichungen für x1 und x2 scheinen ja zu stimmen.
Und wie gesagt, wegen einer bestimmten und allgemeinen Lösungen, da müsstest ihr mir nochmal helfen, wie ich hier dann diese jeweils darstelle/erhalte?

Danke.

29.02.2008, 12:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
$\begin{eqnarray*} 0 = 5,5 b_{1} + 5,5 b_{2} \end{eqnarray*}$

Das hast du zwar schön geschrieben, aber nicht konsequent weitergeführt. Wegen dieser Gleichung mußt du 2 Fälle unterscheiden:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} b_2 = -b_1 \end{eqnarray*}$
Damit ergibt sich folgendes:
a) Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix (A | b), woraus die Lösbarkeit des GLS folgt.
b) Der Rang der Matrix A hat den maximalen Wert (= 3) und damit ist die Lösung des homogenen GLS mit (0; 0; 0) eindeutig bestimmt.
c) Ersetze alle b_2 durch -b_1 und löse dann die jeweiligen Gleichungen.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} b_2 \neq -b_1 \end{eqnarray*}$
Den betrachtest du selbst. Augenzwinkern

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