Extremwertaufgabe

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08.09.2005, 20:13	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Moin Moin! Ich habe mal wieder ein Problem bei einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mit weiterhelfen koennt. Aufgabe : " Welche von allen Konservendosen gleichen Inhalts hat den geringsten Materialverbrauch ? " Wir gehen von einer Zylingerdose aus ^^ Bin da größtenteils überfragt.. Also die Oberfläche ergibt sich ja aus der Mantelfläche + 2 * der Kreisfläche also $\begin{eqnarray} O = 2\pi h + 2 \pi r^{2} \end{eqnarray}$ und der soll minimal sein. Aber mehr weiss ich net so richtig ^^
08.09.2005, 20:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn die Formel für das Volumen? Denke dann daran, dass das Volumen kosntant gegeben ist. Stell also die Volumenformel nach einer der Variablen um, am besten nach $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ und setze das dann ein in die Oberflächenformel ... Gruß MSS
08.09.2005, 21:01	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel muss $\begin{eqnarray} O = 2\pi rh + 2\pi r^2 \end{eqnarray}$ lauten. Die Oberfläche ist also von 2 Variablen abhängig. Dein erstes Ziel ist jetzt mit Hilfe der Nebenbedingung (V = const.) O nur von einer Variable abhängig zu machen. Ich würde die Volumenformel hier eher nach h umstellen.
08.09.2005, 21:02	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V= \pi r^{2}h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^{2}= \frac{V}{\pi h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O = 2\pi rh + 2\pi \frac{V}{\pi h} \end{eqnarray}$ Alles klar. Also das ist nun meine Zielfunktion oda? Und nu? Extrema bestimmen ?? MfG Schl3imer
08.09.2005, 21:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich hatte gar nicht gesehen, dass die Formel falsch ist. Zunächst musst du auch noch das andere $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ersetzen!! Aber in diesem Fall ist es wohl besser, nach $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ umzustellen und das dann einzusetzen. Gruß MSS
08.09.2005, 21:36	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das r hatte ich uebersehen.. hups Also auf h umstellen $\begin{eqnarray} V = \pi r^{2}h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h = \frac{V}{\pi r^{2}} \end{eqnarray}$ und nu $\begin{eqnarray} O = 2 \pi r \frac{V}{\pi r^{2}} + 2\pi r^{2} \end{eqnarray}$ dann zusammenfassen $\begin{eqnarray} O = \frac{2V}{r} + 2\pi r^{2} \end{eqnarray}$ und nun die Extrema ? Muss ich im Abi im Mathe LK mit solchen Aufgaben rechnen oder schwerer bzw. leichter? Mfg Schl3imer
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08.09.2005, 21:44	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja jetzt die extrema (und insbesondere die minima ) generell gilt: im abi ist mit allem zu rechnen ! (alles was die letzten vier semester gemacht wurde kann drankommen.) kommt auch ganz drauf an in welchem bundesland du sitzt. bei uns in bayern waren in den letzten jahren eher gebrochene scharfunktionen diskutieren und integrieren und ähnliche späße dabei .. musst du selber wissen was du als schwerer empfindest! servus
08.09.2005, 22:08	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie leite ich glaube ich falsch ab.. ich habe u = 2V ; u' = 2V v = r ; v' = 1 $\begin{eqnarray} f'(r)= \frac{(2Vr)-(2V)}{v^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(r) =\frac{(r)}{r^{2}}+4\pi r \end{eqnarray}$ da mach ich doch definitiv was falsch.. Mfg Schl3imer
08.09.2005, 22:14	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, du machst einen ganz gewaltigen grundlegenden scheußlichen fehler: $\begin{eqnarray} 2\cdot V \cdot r - 2 \cdot V = 2\cdot V \cdot ( r - 1 ) \neq (r) \end{eqnarray}$ punkt vor strich !!! klar? //edit: ausserdem ist das auch formal falsch was du als erstes hinter f'(x) geschrieben hast. kannst ja 2pix^2 auch substituieren mit w oder so, dann musst du nur w hinschreiben statt dem ganzen dings ^^ aber das musst du vorher definieren, kommt also aufs gleiche raus! servus
08.09.2005, 22:40	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
oh gott wie peinlich ^^ nun hab ich als $\begin{eqnarray} f'(r)= \frac{2V(r-1)}{r^{2}} + 4\pi r \end{eqnarray}$ was is mein nächster Schritt jetzt? weiss jetzt nicht so recht wie ich noch weiter ableiten soll oder ist das die Endform der Ableitung? Sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht...
08.09.2005, 23:21	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das deine Ableitung sein soll dann ist sie falsch. Am einfachsten kommst du hier wenn du die Summanden in $\begin{eqnarray} O(r) = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2 \end{eqnarray}$ einzeln ableitest. Das darfst du nämlich. Verkompliziere die Sache nicht unnötig indem du einen Bruch daraus machst.
08.09.2005, 23:23	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
oh hatte die 4pi r vergessen.. right? Ansonsten wuerde ich jetzt loslegen
08.09.2005, 23:27	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiss nicht so recht was du meinst flexibel.. kannst du mir das erläutern?
08.09.2005, 23:30	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin nicht flexibel *g Ich meine einfach nur das deine Ableitung falsch ist, auch die neue Version. Schreib mal auf wie du auf die erste Ableitung gekommen bist.
08.09.2005, 23:37	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab Qutientenregel angewandt: u = 2V ; u' = 2V v = r ; v'= 1 $\begin{eqnarray} \frac{(2Vr)-(2V1)}{r^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\pi r^{2} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} 4 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'r = \frac{2V(r-1)}{r^{2}} + 4\pi r \end{eqnarray}$
08.09.2005, 23:44	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen von Konstanten sind immer 0. Es gilt also u' = 0. Wenn du das einsetzt ist die erste Ableitung schonmal richtig.
08.09.2005, 23:47	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja ^^ alles klar f'(r) : - 2v/ r² +4pi*r dann rechne ich jetzt mal los. Ergebnisse morgen Mfg und danke fuer die Unterstüzung
08.09.2005, 23:50	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis morgen brauchst du? Du bist ja langsam *g
09.09.2005, 14:10	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte schlafen =) Also hab nun aber die Aufgabe gelöst denke ich. Habe die Nullstellen der Ableitung errechnet. $\begin{eqnarray} r_{0}= (\frac{V}{2\pi})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ ( Randverhalten -> gibt nur eine Stelle, an der die 1. Ableiung verschwindet -> unser Minimum ) Einsetzen in Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} h_{0}= \frac{V}{\pi(\frac{V}{2\pi})^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_{0}= 2(\frac{V}{2\pi})^{\frac {1}{3}} = 2r_{0} \end{eqnarray}$ Daraus folgt wenn d= h -> Minimaler Materialverbrauch richtig??
09.09.2005, 18:58	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
super, alles richtig Eine Frage noch. Was meinst du mit Randverhalten? Hast du die Funktionswerte in der Umgebung vom Extremum untersucht?
09.09.2005, 20:11	Schl3imer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. An dem Randverhalten ist ein globales Minimum zu erkennen. An dieser r stelle verschwindet die erste Ableitung. Da es nur eine Stelle gibt an der diese Ableitung verschwindet liegt dort das lokale Minimum. Danke für deine (flexibel fg) und an die anderen auch Mfg Schl3imer

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