Scheitelpunktform

28.02.2008, 18:36

hrvat66

Scheitelpunktform

hi ich wollte ma fragen ob mir wer helfen kann die folmel f(x)=ax²+bx+c in die scheitelpunktform zu bringen?.... verwirrt

28.02.2008, 18:37

Bjoern1982

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Das ist eher ein Term als eine Formel Augenzwinkern

Klammere a aus und wende die quadratische Ergänzung an.

Gruß Björn

28.02.2008, 18:41

hrvat66

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ok:d....wie soll ich denn a ausklammern??

28.02.2008, 18:43

Bjoern1982

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Indem du jeden Summanden durch a dividierst (für a ungleich null)

28.02.2008, 18:44

hrvat66

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also dann f(x) bleibt das?..
f(x)=x²/a + bx/a+c/a?? so?

28.02.2008, 18:50

Bjoern1982

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Lieber so:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=a\cdot (x^2+\frac{b}{a} \cdot x+\frac{c}{a}) \end{eqnarray*}$

28.02.2008, 18:52

hrvat66

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aba warum ? versteh cih ncih geschockt

28.02.2008, 18:55

Bjoern1982

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Ich habe nur jeden Summanden durch a dividiert.
Wenn du das wieder ausmultiplizierst erhälst du wieder die ax²+bx+c.
Man braucht diese Umformung eben damit vor dem x² kein Faktor mehr steht und man nun eine quadratische Ergänzung durchführen kann.

28.02.2008, 19:04

hrvat66

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ja und warum steht vor dem nich f(x)?---wie kommst du denn da hin?

28.02.2008, 19:07

hrvat66

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also davor steht ja ax²+bx+c=

28.02.2008, 19:15

Bjoern1982

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f(x) kannst du von mir aus auch nur davor schreiben, aber das ist unwichtig - es kommt ja auf die Umformung des Funktionsterms selbst in die Scheitelpunktform an.

Weisst du wie man quadratisch ergänzt um eine binomische Formel zu erzeugen ?

Prinzipiell gehst du hier genauso vor als wenn jetzt an Stelle der Variablen a,b und c Zahlen stehen würden und du diesen quadratischen Term auf Scheitelpunktform bringen willst. Ihr sollt das offensichtlich hier einmal ganz allgemein machen.

28.02.2008, 19:18

hrvat66

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ja solen wir auch aba ka wie...also weiß nich wie ich die quadratische ergänzung machen soll um die bionomische formel anzuwenden..

28.02.2008, 19:23

Bjoern1982

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Wie würdest du es denn z.B. bei f(x)=2x² - 4x +5 machen ?

28.02.2008, 19:31

hrvat66

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ich weiß es ncih ka...

28.02.2008, 19:41

Bjoern1982

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Für dieses Beispiel mache ich es dir einmal vor.

Übertragen auf ax²+bx+c musst du dann alleine.

2x² - 4x +5 ---> Ausklammern

=2(x²-2x+2,5) ---> die ersten beiden Summanden hinschreiben und dann die Hälfte vom Faktor vor dem x quadrieren und dazu addieren und direkt wieder abziehen

= 2(x²-2x+1²-1²+2,5) ---> die ersten 3 Summanden zu einer binomischen Formel zusammenfassen und den Rest zusammenrechnen

=2((x-1)²+1,5) ----> Klammer durch ausmultiplizieren auflösen

=2(x-1)²+3

Probiere es einfach mal analog zu diesem Beispiel.

Björn

28.02.2008, 19:48

hrvat66

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also hab cih dann ax²+bx+c
=a(x²+b/a*x+c/a)
=a(x²+b/a*x+(b/a/2)²-(b/a/2)²+c/a
=a*((x+(b/a/2)²)-(b/a/2)²+c/a
so ? oda kann cih das noch weiter zsm fassen?...stimmt das denn so?

28.02.2008, 19:57

Bjoern1982

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Hmm...naja...sieht ja gar nicht sooo schlecht aus Augenzwinkern

Einige Klammern fehlen leider nur, die letzte Zeile muss so lauten:

a((x+((b/a)/2)))²-((b/a)/2)²+c/a)

oder mal etwas schöner mit Latex:

$\begin{eqnarray*} a\cdot ((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}) \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich noch den Summanden nach der binomischen Formel zusammenfassen (Klammer auflösen) und mit dem letzten Summanden in der Klammer auf einen Hauptnenner bringen.

Zum Schluss dann ausmultiplizieren (wie im Beispiel).

28.02.2008, 20:03

hrvat66

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ja ok...das hab cih verstanden...nur cih weiß nich wie ich die klammer auflösen soll.... verwirrt

boar bin ich doof ey

28.02.2008, 20:06

Bjoern1982

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Welche meinst du jetzt ? Die äußere Klammer oder den Term $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{2a})^2 \end{eqnarray*}$ ?

28.02.2008, 20:09

hrvat66

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ja ka iwie beides...bei der äußeren muss ihc ja nur immer a vor setzen oda?

28.02.2008, 20:12

Bjoern1982

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Ja, genau - dann mach das ruhig mal zuerst und löse $\begin{eqnarray*} (\frac{b}{2a})^2 \end{eqnarray*}$ durch quadrieren des Zählers und Nenners (jeden Faktor beachten).

28.02.2008, 20:17

hrvat66

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also so?...
a*((x+((b/a)/2))²-a*((b/a)/2)²+a*c/a

un dann jeden faktor quadrieren also aus ((b/a)/2)²=b²/(2a)²
also dann so?

a*((x+b²/(2a)²)-a*(b²/(2a)²)+a*c/a

28.02.2008, 20:24

Bjoern1982

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Zitat:

a*((x+b²/(2a)²)-a*(b²/(2a)²)+a*c/a

Am ersten Summanden mit der binomischen Formel würde ich nichts mehr ändern.

(2a)²=4a²

Damit kannst du in den letzten beiden Summanden noch kürzen und evtl noch auf einen Hauptnenner bringen.

28.02.2008, 20:30

hrvat66

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also dann so?
oda is das jez falsch oda wie würdest du das amchen...
a*((x+b²/4a²)-a*(b²/4a²)+a*c/a
und wie auf eienn hauptnenner bringen?

28.02.2008, 20:37

Bjoern1982

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Du hast leider nichts von dem was ich gerade geschreiben habe befolgt.
Lies es dir nochmal in Ruhe durch.
Was ein Hauptnenner ist weisst du bestimmt Augenzwinkern

und von welchen Summanden du ihn bestimmen sollst habe ich auch geschrieben.

28.02.2008, 20:41

hrvat66

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ja weil ich ncih weiß was du meinst
was sind den die letzten beiden summanden un wie soll ich das mit 4a² machen?...ka boar ich bin echt zu dumm dafür

28.02.2008, 20:47

Bjoern1982

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Na komm, du brauchst dich jetzt nicht so runter machen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a\cdot ((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})= a\cdot (x+\frac{b}{2a})^2-a \cdot (\frac{b}{2a})^2+a\cdot \frac{c}{a}=a\cdot (x+\frac{b}{2a})^2- \frac{ab^2}{4a^2}+ \frac{ac}{a} \end{eqnarray*}$

Soweit sind wir jetzt.

Nun bringe mal das hier auf einem Hauptnenner:

$\begin{eqnarray*} - \frac{ab^2}{4a^2}+ \frac{ac}{a} \end{eqnarray*}$

28.02.2008, 20:57

hrvat66

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ja also ich muss das ja mal 4 un dann hoch 2
also .....so`?
also dann-ab²/(4a)²+((4ac)²/4a²)
so?

28.02.2008, 21:02

Bjoern1982

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Nein, den zweiten Bruch musst du nur mit 4a erweitern.
Mit quadrieren ist da nichts.

28.02.2008, 21:09

hrvat66

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aba der erste nenner is doch auch 4a²
also dann nur

-ab²/(4a²)+4ac/4a...s0?

28.02.2008, 21:23

hrvat66

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??ICH NERVE NE aba ich weiß echt ncih wie

28.02.2008, 21:28

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} - \frac{ab^2}{4a^2}+ \frac{ac}{a}=- \frac{ab^2}{4a^2}+ \frac{4a^2c}{4a^2}= \frac{-ab^2+4a^2c}{4a^2}=\frac{a(-b^2+4ac)}{4a^2}=\frac{-b^2+4ac}{4a} \end{eqnarray*}$

28.02.2008, 21:34

hrvat66

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ok...also dann
a*(x+b/(2a))²-(b²+4ac/(4a))
so?

28.02.2008, 21:36

Bjoern1982

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Das minus noch in die Klammer rein, aber dann sind wir am Ende denke ich.

28.02.2008, 21:37

hrvat66

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ok aba auch aus der klammer ein oda?...danke