Intervallschachtelung

28.02.2008, 18:41

skywalker85

Intervallschachtelung

Hallo,

ich habe da eine Aufgabe und bin mir nicht sicher wie es jetzt weiter geht. Vielleicht schaut mal einer kurz drüber und könnte mir nen Hinweis geben. Die Aufgabe:

Zitat:

Zwei positive Zahlen: a,b. Das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sind definiert durch:

$\begin{eqnarray*} A(a,b) := \frac{1}{2}(a+b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(a,b) := \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H(a,b) := \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

Ferner gelte: $\begin{eqnarray*} 0 < a < b \end{eqnarray*}$
Die Intervalle $\begin{eqnarray*} I_n = [a_n, b_n] \end{eqnarray*}$ sind definiert durch
$\begin{eqnarray*} I_1 := [a,b] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}= H(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}= A(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, daß diese Intervalle eine Intervallschachtelung bilden mit $\begin{eqnarray*} G(a,b) = \sqrt{ab} \in I_n \end{eqnarray*}$ und Länge $\begin{eqnarray*} |I_{n+1}|=b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{1}{4a}(b_n-a_n)^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Lösungsansatz sieht wie folgt aus:

Der Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_1 = [a,b] \end{eqnarray*}$
Somit muss ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} a < \sqrt{ab} < b \end{eqnarray*}$ . Dass habe ich schoneinmal bewiesen also reicht der Verweis darauf.

Nun zum IS:

$\begin{eqnarray*} I_{n+1} = [\frac{2a_n b_n}{a_n+b_n} ; \frac{1}{2}(a_n+b_n)] \end{eqnarray*}$

zz.:

$\begin{eqnarray*} \frac{2a_nb_n}{a_nb_n} \leq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

Ich Löse diese Gleichung auf und komme anschließend auf
$\begin{eqnarray*} 0 \leq (a_n - b_n)^2 \end{eqnarray*}$

Nun zwei Fragen: Was muss ich mit dem anderen Wert machen? Also dem $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Muss ich da auch beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq B_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?
Und was ist mit der Intervalllänge? Was muss ich damit machen?

Wäre nett, wenn da jemand für mich einen Hinweis hätte.

28.02.2008, 18:52

tmo

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Die Abschätzung der Intervalllänge ist fast trivial.

setze einfach die Rekursionsvorschrift für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein und forme um.

tipp zum ende der umformung: $\begin{eqnarray*} 2(a_n+b_n) > 2(2a_n) > 4a \end{eqnarray*}$ .

dann zur Intervallschachtelung: Halte dich doch an die Definition. was müssen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ erfüllen?

Wenn ihr schon die Ungleichungen vom arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel bewiesen habt, dann ist das auch sehr einfach. wenn nicht, solltest du sie halt noch beweisen.

29.02.2008, 12:17

skywalker85

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Also zu ersteinmal zur Intervallschachtelung:
$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ müssen erfüllen dass:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq H(a,b) \leq G(a,b) \leq A(a,b) \leq b_n \end{eqnarray*}$

Bewiesen habe ich bereits einmal, dass

$\begin{eqnarray*} H(a,b) \leq G(a,b) \leq A(a,b) \end{eqnarray*}$

Der Rest, muss sich dann doch eigentlich von alleine ergeben, weil
$\begin{eqnarray*} 0 < a < b \end{eqnarray*}$

Dass wäre dann ja der Induktionsanfang.

Der Schluss von $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist dann doch eigentlich auch ganz einfach, oder?
Es muss doch nur bewiesen werden, dass
$\begin{eqnarray*} G(a,b) \in I_{n+1} \end{eqnarray*}$

weil aber

$\begin{eqnarray*} I_{n+1} = [\frac{2a_n b_n}{a_n+b_n} ; \frac{1}{2}(a_n+b_n)] \end{eqnarray*}$

und ich ja bereits bewiesen habe, dass
$\begin{eqnarray*} H(a,b) \leq G(a,b) \leq A(a,b) \end{eqnarray*}$

MUSS $\begin{eqnarray*} G(a,b) \end{eqnarray*}$ doch zwangsläufig in $\begin{eqnarray*} I_{n+1} \end{eqnarray*}$ liegen.

Liege ich damit jetzt total falsch oder nicht?

Was die Intervallänge angeht kann ich leider nicht wirklich was damit anfangen, was du mit

Zitat:

setze einfach die Rekursionsvorschrift für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein und forme um.

meinst. Wenn du das nochmal erläutern könntest wäre das klasse!

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