Kombinatorik + bedingte Wahrscheinlichkeit

28.02.2008, 19:52

babelfish

Kombinatorik + bedingte Wahrscheinlichkeit

Guten Abend! smile

Ich hab hier ein paar Aufgaben im Internet gefunden, aber leider keine Lösungen...
Wäre schön, wenn jemand einfach mal drüber gucken könnte, ob das so stimmt! Danke! smile

Zitat:

1. Ein „City-Zug“ besteht aus 10 Waggons: 4 Wagen der Touristikklasse (T), 3 Wagen der ersten Klasse (E) , 2 Großraumwagen (G) sowie ein Speisewagen (S).
Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Zug zusammenzustellen, wenn nur nach den Kategorien T, E, G und S unterschieden wird und
a) sonst keine Vorgaben zu beachten sind,
b) die Großraumwaggons am Anfang und am Ende des Zuges stehen und der Speisewagen 5. oder 6. Wagen sein soll.

zu a)
Anzahl = 10!/(4!*3!*2!) = 12600

zu b)
Anzahl = 2*7!/(4!*3!) = 70

Zitat:

2. Aufgrund langjähriger Erfahrungen weiß man, dass 1% der Bahnkunden ohne gültigen Fahrausweis fährt. Ein Kontrolleur erkennt einen Schwarzfahrer (SF) mit 95% und einen Kunden, der eine gültige Fahrkarte hat, mit 98% Sicherheit.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Kunde, der falsch eingeschätzt wird, ein Schwarzfahrer?

zu a) S = Schwarzfahrer, nS = kein Schwarzfahrer, E = richtig erkannt, nE = nicht richtig erkannt
$\begin{eqnarray*} P_{nE}(S)= \frac{P(nE \cap S)}{P(nE)} = \frac{0,01*0,95}{0,01*0,05+0,99*0,02}=46,798% \end{eqnarray*}$

29.02.2008, 01:38

Zellerli

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Das müsste stimmen.

Oben bei der b) nehm ich an die 2 kommt vom Speisewagen, der 5. oder 6. sein soll. Dann die 7! Sind die 7 verbleibenden mit 4mal T und 3mal E.

Und unten Formel von... ...Bayes heißt der Knecht oder?

Explizit nachgerechnet hab ich jetzt nicht Augenzwinkern

29.02.2008, 17:00

babelfish

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Ja genau so war's gemeint, danke schonmal! smile

Jetzt gehts nämlich weiter... Augenzwinkern

Zitat:

b) Mit p wird der Anteil der Reisenden mit gültigem Fahrausweis, die als solche erkannt werden bezeichnet. Der Wert p hat sich so geändert, dass die Ereignisse SF:“ Der Kunde ist Schwarzfahrer“ und R:“ Der Kunde wird richtig eingeschätzt“ unabhängig sind. Bestimmen Sie den Wert von p.
c) Ein Zug ist mit 200 Fahrgästen besetzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Personen mehr als erwartet ohne gültigen Fahrausweis fahren?

zu b)
Es gilt also: $\begin{eqnarray*} p=P_{nS}(E) \end{eqnarray*}$
Die beiden Ereignisse S und E müssten ja eigentlich unabhängig sein, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) \end{eqnarray*}$

Daraus hab ich dann geschlossen:

$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) = P(S)*P_{S}(E) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,01*P(E)=0,01*0,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(S)*P_{S}(E)+P(nS)*P_{nS}(E)=0,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,01*0,95+0,99*p=0,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=0,95 \end{eqnarray*}$

zu c)
ist binomialverteilt mit n=200 und p=0,01
also E(X)=2
da mindestens 3 mehr als erwartet erwischt werden sollen: X größer gleich 5
$\begin{eqnarray*} P^{200}_{0,01}(X \geq 5)= 5,175% \end{eqnarray*}$

29.02.2008, 19:03

Zellerli

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Zitat:

Die beiden Ereignisse S und E müssten ja eigentlich unabhängig sein, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) \end{eqnarray*}$

richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(S)*P(E) = P(S)*P_{S}(E) \end{eqnarray*}$

Der Teil stört mich gerade. Mit $\begin{eqnarray*} P_{S}(E) \end{eqnarray*}$ meinst du doch die Wahrscheinlichkeit, dass E auftritt unter der Bedingung dass S auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit sollte eigentlich geringer sein, alls die Wahrscheinlichkeit, dass nur E auftritt $\begin{eqnarray*} P(E) \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} P(S) \end{eqnarray*}$ konstat bleibt, stimmt diese Zeile nicht, es sei denn alle richtig Erkannten sind Schwarzfahrer.
Erläutere lieber nochmal genauer deinen Weg Augenzwinkern

Die c) stimmt.

29.02.2008, 19:21

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Zitat:

Original von Zellerli
Mit $\begin{eqnarray*} P_{S}(E) \end{eqnarray*}$ meinst du doch die Wahrscheinlichkeit, dass E auftritt unter der Bedingung dass S auftritt.

Davon gehe ich auch mal aus. In dem Fall ist der Mittelteil von

Zitat:

Original von babelfish
$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) = P(S)*P_{S}(E) \end{eqnarray*}$

schlichtweg falsch, da die Ereigniss $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hier keineswegs unabhängig sind. Die äußeren Terme zusammengefasst stimmt aber zumindest

$\begin{eqnarray*} P(S\cap E) = P(S)\cdot P_{S}(E) \end{eqnarray*}$ ,

das folgt ja direkt aus der Def. der bedingten Wkt:

$\begin{eqnarray*} P_{S}(E) := \frac{P(S\cap E)}{P(S)} \end{eqnarray*}$ für Ereignisse $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(S)>0 \end{eqnarray*}$ .

Also Vorsicht mit unangebrachten Unabhängigkeitsannahmen.

01.03.2008, 12:00

babelfish

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Zitat:

Original von Zellerli
Mit $\begin{eqnarray*} P_{S}(E) \end{eqnarray*}$ meinst du doch die Wahrscheinlichkeit, dass E auftritt unter der Bedingung dass S auftritt.

Ja genau.

Okay, vielleicht erkläre ich nochmal, was ich mir gedacht habe! Augenzwinkern

Also, gesucht ist ja ein neuer Wert für $\begin{eqnarray*} p=P_{nS}(E) \end{eqnarray*}$ , sodass P und S unabhängige Ereignisse sind.
Also bin ich erst einmal von der Definition für zwei unabhängige Ereignisse ausgegangen:

$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) \end{eqnarray*}$

(Das müsste ja soweit noch richtig sein... Augenzwinkern

)

Prinzipiell (egal ob zwei Ereignisse unabhängig oder nicht sind) gilt doch ferner:

$\begin{eqnarray*} P(S\cap E) = P(S)\cdot P_{S}(E) \end{eqnarray*}$

(aus der Formel von Bayes hergeleitet, was Arthur ja auch gesagt hat.)

Jetzt habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt, bereits bekannte Werte eingesetzt und P(E) nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit umgeschrieben in $\begin{eqnarray*} P(S)*P_{S}(E)+P(nS)*P_{nS}(E) \end{eqnarray*}$ und das ganze so umgestellt, dass ich einen Wert für $\begin{eqnarray*} P_{nS}(E) \end{eqnarray*}$ also p raus hatte.

Sooo, vielleicht könnt ihr nochmal versuchen, mir zu erklären, wo's hakt? smile

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von babelfish
$\begin{eqnarray*} P(S\cap E)=P(S)*P(E) = P(S)*P_{S}(E) \end{eqnarray*}$

schlichtweg falsch, da die Ereigniss $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hier keineswegs unabhängig sind.

Dass man das nicht allgemein so sagen darf, ist mir ja bewusst - aber Aufgabe ist es hier doch gerade einen Wert p zu finden, für den die beiden Ereignisse S und E dann unabhängig sind - also muss ja dann auch diese Gleichung gelten, oder?

02.03.2008, 05:38

Javier

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Das stimmt schon alles. Ich geh' mal davon aus, dass du P(SF)=0,01, P(R|SF)=0,95 gegeben hast?! Da in der Aufgabe stand, dass angenommen werden soll, dass sich p so verändert, dass die Ereignisse SF und R unabhängig sind, hättest du auch gleich P(R|SF)=P(R) schreiben können. P(R) = P(R|SF)*P(SF)+P(R|nSF)*P(nSF) ... passt auch. p = 0,95 Häkchen! smile

02.03.2008, 09:46

babelfish

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Zitat:

Original von Javier
Ich geh' mal davon aus, dass du P(SF)=0,01, P(R|SF)=0,95 gegeben hast?!

Ja das hatte ich im ersten Beitrag geschrieben! Augenzwinkern

Zitat:

Da in der Aufgabe stand, dass angenommen werden soll, dass sich p so verändert, dass die Ereignisse SF und R unabhängig sind, hättest du auch gleich P(R|SF)=P(R) schreiben können. P(R) = P(R|SF)*P(SF)+P(R|nSF)*P(nSF) ... passt auch. p = 0,95 Häkchen! smile

Okay, dann ist ja alles klar, super, danke! smile

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