Lie Gruppen, SO(n)

09.09.2005, 23:00	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
Lie Gruppen, SO(n) man kann den Torus $\begin{eqnarray} T^2=S^1 \times S^1 \end{eqnarray}$ kanonisch als Liegruppen n SO(4) einbetten, weil gilt $\begin{eqnarray} S^1 = SO(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} SO(2) \times SO(2) \in SO(4) \end{eqnarray}$ was mich jetzt interessiert ist die Menge der Matrizen in SO(4) bei deren Konjugation der Torus invariant bleibt. Also $\begin{eqnarray} G := \{A \in SO(4) \| A T^2 (A^{-1}) \subseteq T^2 \} \end{eqnarray}$ Ich habe mir schon überlegt, das G selbst eine Untergruppe von SO(4) ist und das $\begin{eqnarray} T^2 \subsetneq G \subsetneq SO(4) \end{eqnarray}$ ausserdem habe ich überlegt, durch Übergang zu den Liealgebren die Rechnung etwas zu vereinfachen. ich kann mir duch semi-probieren auch ungefähr vorstellen, was die Lösung ist aber ich suche eine Beweistechnisch solide Lösung wie man sowas ausrechnet.
10.09.2005, 01:10	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} B \in SO(2) \times SO(2) \end{eqnarray}$ welches $\begin{eqnarray} A \in SO(4) \end{eqnarray}$ wird dann mit B identifiziert?
10.09.2005, 14:02	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
SO(2) sind 2 mal 2 Matrizen, SO(4) 4 mal 4 Matrizen dann liegt die erste SO(2) Matrix in der linken oberen Ecke und die zweite in der rechten unteren. Der Rest wird mit Nullen aufgefüllt.
10.09.2005, 16:28	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm. Wenn man $\begin{eqnarray} det(A) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^T \end{eqnarray}$ benutzt kommt man wegen $\begin{eqnarray} SO(2) \cong S^1 \end{eqnarray}$ darauf das die Elemente von $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entsprechen. Die Elemente von $\begin{eqnarray} SO(4) \end{eqnarray}$ die denen aus $\begin{eqnarray} SO(2) \times SO(2) \end{eqnarray}$ entsprechen, haben die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0\\ -b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & -d & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die einzige Möglichkeit die ich hier sehe das direkt auszurechnen ist 1. ein $\begin{eqnarray} A \in SO(4) \end{eqnarray}$ wählen und mit $\begin{eqnarray} det(A)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^T \end{eqnarray}$ einige der 16 Variablen durch Abhängigkeiten zu eleminieren. 2.danach für ein A in $\begin{eqnarray} T^2 \end{eqnarray}$ das Konjugierte auszurechnen. Leider artet das aber in riesigen Gleichungssystemen aus, keine Ahnung ob es noch einfacher geht

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