Funktionsschar - Extrema etc.

29.02.2008, 11:20

neon]microstar

Funktionsschar - Extrema etc.

Hello @ all!

Ich bin hier echt am Verzweifeln...Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen.
Hier die Aufgabe:

Für jedes t Element der reellen Zahlen ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = \frac{4}{x^2-4x+t} \end{eqnarray*}$ .

a) Ermitteln Sie die Anzahl der Polstellen der Funktion in Abhängigkeit von t!
Meine Lsg.: $\begin{eqnarray*} 2, wenn \quad t < 4; 1, wenn \quad t=4; 0, wenn \quad t>4 \end{eqnarray*}$

b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion ft für $\begin{eqnarray*} x \to \end{eqnarray*}$ +/- Unendlich!
Meine Lsg.: $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

c) Für welches t hat die Funktion ft kein lokales Extremum ?
Meine Lsg.: für $\begin{eqnarray*} t=\frac{4}{x}+4 \end{eqnarray*}$ .
EDIT: ist falsch.

d) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{5} \end{eqnarray*}$ auf lokale Extrempunkte! Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte!
Meine Lsg.: $\begin{eqnarray*} (2|4) \end{eqnarray*}$ -> lokales Max.

e) Zeigen Sie, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{4} \end{eqnarray*}$ keinen Wendepunkt hat! Der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{5} \end{eqnarray*}$ hat 2 Wendepunkte. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Wendepunkte! (Auf die Untersuchung der 3. Ableitung kann verzichtet werden.)
Skizzieren Sie die Graphen von f4 und f5 im Intervall -2<=x<=6 in ein und dasselbe Koordinatensystem!
Meine Lsg.: $\begin{eqnarray*} (3|2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1|2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f_{5} \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} f_{4} \end{eqnarray*}$ komm ich nicht weiter (Polynomdivison)

Könnt ihr mir sagen, ob die Lösungen richtig sind, bzw. ich bei den einzelnen weiterkomme?

Vielen Dank schon mal im Voraus!!!

29.02.2008, 11:23

tigerbine

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Wie kann man Formeln schreiben?

29.02.2008, 11:36

klarsoweit

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RE: Funktionsschaar - Extrema etc.

Zitat:

Original von neon]microstar
c) Für welches t hat die Funktion ft kein lokales Extremum ?
Meine Lsg.: für $\begin{eqnarray*} t=4/{x}+4 \end{eqnarray*}$ .

t kann nicht von x abhängig sein.

01.03.2008, 15:13

neon]microstar

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Ich habe das rausbekommen, indem ich die 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} f'_{t}(x)\not=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe (notwendige Bedingung). Könnte es funktionieren, wenn ich die 2. Ableitung = 0 setze (hinreichende Bedingung) und warum ist meine Idee falsch?

EDIT: @ Tigerbine: Hab mir das zu Herzen genommen und das Ganze noch einmal verbessert. (P.S.: Hatte es in der Schule in der Zwischenzeit gepostet -> aber jetzt sieht's gut aus ;-). )

01.03.2008, 16:24

neon]microstar

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Für die 2. Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) \end{eqnarray*}$ bekomme ich folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} f''_{t}(x)=\frac{-8x^4+64x^3-96x^2-128x-16tx^2+64tx-8t^2+128}{(x^2-4x+t)^4} \end{eqnarray*}$
Wenn ich $\begin{eqnarray*} f''_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setze. Komme ich nur bis hier hin:
$\begin{eqnarray*} 0 = x^4-8x^3+12x^2+16x+2tx^2-8xt+t^2-16 \end{eqnarray*}$
Könnte man jetzt folgendermaßen argumentieren ?:
$\begin{eqnarray*} 0=x(x^3-8x^2+12x+16)+2tx^2-8xt+t^2-16 \end{eqnarray*}$
Wenn x = 0, dann:
$\begin{eqnarray*} 0=t^2-16 \Rightarrow t=+/- 4 \end{eqnarray*}$

01.03.2008, 16:50

tigerbine

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RE: Funktionsschaar - Extrema etc.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = \frac{4}{x^2-4x+t} \end{eqnarray*}$

Schön so.

Zitat:

a) Ermitteln Sie die Anzahl der Polstellen der Funktion in Abhängigkeit von t!

Polstellen sind hier - da der Zähler kein x enthält - eben die Nullstellen des Nenners. Lösungsformel anwenden.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot t}}{2} \end{eqnarray*}$

Nun kommt es nur auf die Diskriminante an. A sei die Anzahl der Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{cases} 0 & t > 4 \\ 1 & t = 4 \\ 2 & t < 4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion ft für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$

Nun eben bekannte Grenzwerte benutzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~f_t(x) =\lim_{x \to \infty}~ \frac{4}{x^2-4x+t} = \lim_{x \to \infty}~\frac{4}{x^2(1-\frac{4}{x}+\frac{t}{x^2})} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~f_t(x) =\lim_{x \to -\infty}~ \frac{4}{x^2-4x+t} = \lim_{x \to \infty}~\frac{4}{x^2(1+\frac{4}{x}+\frac{t}{x^2})} = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

c) Für welches t hat die Funktion ft kein lokales Extremum ?

Ableitungen bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=\frac{-4(2x-4)}{(x^2-4x+t)^2} = \frac{-8(x-2)}{(x^2-4x+t)^2} \end{eqnarray*}$

Notwendig ist eine Nullstelle der Ableitung. Diese liegt, wenn sie existiert, immer bei x=2. Für welches t ist die Funktion da nicht definiert? Wenn dort auch eine Nullstelle des Nenners vorliegt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t=4 \end{eqnarray*}$

Nun kommen wir zu hinreichenden Untersuchung. Ist die Ableitung an der Stelle x=2 definiert, so liegt im Zähler ein VZW an der Stelle vor, im Nenner ()² nicht. Daher ist t=4 die einzige Ausnahme.

Ein Plot zu deiner zweiten Angabe.

01.03.2008, 17:21

neon]microstar

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Hey Tigerbine!
Danke für die hervorragende Mühe, die du dir gemacht hast. Also a.) und b.) hab ich genauso. Dass t=4 rauskommt, verstehe ich auch.
EDIT: Hat sich geklärt, s.u..

01.03.2008, 20:01

neon]microstar

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RE: Funktionsschaar - Extrema etc.

Zitat:

Original von tigerbine
Nun kommen wir zu hinreichenden Untersuchung. Ist die Ableitung an der Stelle x=2 definiert, so liegt im Zähler ein VZW an der Stelle vor, im Nenner ()² nicht. Daher ist t=4 die einzige Ausnahme.

d.h., dass $\begin{eqnarray*} t \not = 4 \end{eqnarray*}$ ist, richtig ?!
OK, dann ist alles klar. Denn dann gibt es immer einen Vorzeichenwechsel der ganzen Ableitung (-/+ -> - ||+/+ -> +) und damit auch Maxima bzw. Minima.
Nur bei t = 4 geht es nicht, denn dort kann die Ableitung nicht 0 werden. Great smile

02.03.2008, 17:19

neon]microstar

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Ich hätte dann noch eine Frage bezüglich der e.):

Wie kann ich dies hier:
$\begin{eqnarray*} f_{4}''(x)=\frac{[-8(x^2-4x+4)^2]-[(-8x+16)*2(x^2-4x+4)(2x-4)]}{(x^2-4x+4)^4} \end{eqnarray*}$
zu diesem hier (GeoGebras Ergebnis):
$\begin{eqnarray*} f_{4}''(x)=\frac{24}{(x^4-8x^3+24x^2-32x+16)} \end{eqnarray*}$
umformen ? Ich bekomme es einfach nicht hin.

02.03.2008, 17:49

mYthos

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.. weil deine 2. Ableitung einfach falsch ist. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} f_4' (x) = -\frac{8}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_4'' (x) = \frac{24}{(x-2)^4} \end{eqnarray*}$

Also den Nenner NICHT ausmultiplizieren, in Binom-Form lässt es sich viel leichter ableiten.

mY+

02.03.2008, 18:17

neon]microstar

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Aber wenn man deine erste Ableitung mit der Quotientenregel weiter ableitet, kommt man doch auf $\begin{eqnarray*} ((x-2)^3)^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner (v²) !

Und ich bekomme bei meiner weiteren Umformung auf dies hier:
$\begin{eqnarray*} \frac {24}{((x-2)^2)^3} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe zusammengefasst und konnte dann
$\begin{eqnarray*} (x^2-4x+4)^n \end{eqnarray*}$ kürzen.

02.03.2008, 18:34

mYthos

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Zitat:

Original von neon]microstar
Aber wenn man deine erste Ableitung mit der Quotientenregel weiter ableitet, kommt man doch auf $\begin{eqnarray*} ((x-2)^3)^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner (v²) !
...

Man kann doch sofort durch $\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 \end{eqnarray*}$ kürzen! Ausserdem braucht man hier gar nicht die Bruchregel!

$\begin{eqnarray*} -\frac{8}{(x-2)^3} = -8(x-2)^{-3} \ \text{Ableitung ist } \ .. \ = 24(x-2)^{-4} = \ ... \end{eqnarray*}$

Und weiterhin: Binom prizipiell NICHT ausmultiplizieren!

mY+

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