Hilfe beim ableiten einer Funktion (Ketten- und Produktregel)

10.09.2005, 15:13

Whiskey

Hilfe beim ableiten einer Funktion (Ketten- und Produktregel)

Hi,

ich bräuchte eure Hilfe beim Ableiten einer Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2 - \sqrt{x^2 - 1} )^2 \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht mich von innen nach aussen vor zu arbeiten, aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung, die unser Lehrer uns gegeben hat:
$\begin{eqnarray*} 2 (2x^3 + x - \frac{3x^3 - 2x}{\sqrt{x^2 - 1}}) \end{eqnarray*}$ )

Hier also mein Weg, nen bissl umständlich vielleicht, aber dafür leicht nachvollziehbar IMHO.
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(u) = \sqrt{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(u) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

Das war das innerste, nun wegen der Produktregel diese beiden Funktionen multiplizieren.
$\begin{eqnarray*} w(x) = u(x) * (v(u(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w'(x) = \frac{x}{\sqrt {x^2-1}} \end{eqnarray*}$

So nun können wir nen kleines Stückchen weiter nach aussen gehen.
$\begin{eqnarray*} t(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(x) = w(x) - t(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'(x) = 2x - \frac{x}{\sqrt {x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Ist das noch alles richtig? verwirrt

Naja machen wir den rest auchnoch, inner Hoffnung, das es stimmt.
$\begin{eqnarray*} g(z) = z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(z) = 2z \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir jetzt unsicher, was muss ich für z einsetzen? den Ausgangsterm, oder?
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(x^2 - \sqrt{x^2 - 1}) * (2x - \frac{x}{\sqrt {x^2-1}}) \end{eqnarray*}$

So sieht meine Ableitung aus, aber da muss doch nen Fehler drin sein, oder nicht? Oder seh ich nur die Umformungen, die man noch machen kann/muss nicht?

Hoffe da bloickt noch einer durch Augenzwinkern

.

Gruß
Whiskey
PS: Geiles Board hier, allein die Formeldarstellung ist ja echt mal klasse.

10.09.2005, 15:37

derkoch

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nein!

deine Ableitung ist identisch mit der Lösung deines lehrers! ist also richtig! Freude

du kannst es ja selber überprüfen, schreibe alles auf einem gemeinsamen bruch und multipliziere dann di klammern aus und du siehst es !

10.09.2005, 15:46

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@Whiskey

derkoch hat natürlich recht, dein Endergebnis ist richtig. Dein Lehrer hat vermutlich erst (mit binomischer Formel) ausmultipliziert, und dann erst differenziert, geht auch.

P.S.: In deinem Zwischenschritt

Zitat:

Original von Whiskey
$\begin{eqnarray*} w(x) = u(x) * (v(u(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w'(x) = \frac{x}{\sqrt {x^2-1}} \end{eqnarray*}$

meinst du sicher

$\begin{eqnarray*} w(x) &=& v(u(x))\\ w'(x) &=& v'(u(x))\cdot u'(x) = \frac{x}{\sqrt {x^2-1}} \end{eqnarray*}$ ,

stimmt's? Die weitere Rechnung ist ja dann auch OK. Augenzwinkern

10.09.2005, 16:30

Whiskey

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Zitat:

Original von derkoch
nein!

deine Ableitung ist identisch mit der Lösung deines lehrers! ist also richtig! Freude

du kannst es ja selber überprüfen, schreibe alles auf einem gemeinsamen bruch und multipliziere dann di klammern aus und du siehst es !

Hi,
danke für die schnelle Antwort, beim dritten durchrechnen bin ich Depp, dann auch mal auf die Idee gekommen, die Wurzel die beim multiplizieren opensteht auszumultiplizieren, dann funktioniert alles.

Dank euch beiden.

Gruß
Whiskey
PS: Kennt ihr eine Seite wo es Aufgaben zum exponentiellen Wachstum gibt, sprich wo man eFunktionen bestimmen muss, oder noch zusätzliche Aufgaben zu Kettenregeln?

10.09.2005, 16:34

mercany

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Entweder Google befragen: http://www.learn.de/mathematik/2/1/di_02.htm

Oder aber einfach mal hier im Board suchen, da findest du genug Aufgaben. Vorallem auch mit meist sehr hilfreichen Erklärungen zum Lösungsweg!

Gruß, mercany

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