Schnittgerade einer Ebenenschar - allgemein

01.03.2008, 12:08

axelt

Schnittgerade einer Ebenenschar - allgemein

Hallo, habe die Aufgabe für die Ebenenschar

$\begin{eqnarray*} x+(k-2)y+(2k+1)z=5-2k \end{eqnarray*}$

Die Gerade h herauszufinden, die allen Scharebenen gemein ist.

Das ist ja auch ganz einfach wenn man das ganze mit E1 und E2 in einem LGS löst.
Kann ich das ganze auch allgemeiner lösen? Wenn ich z.B. einmal den Parameter k und einmal s einsetze und das gleiche mache, wird das LGS viel zu kompliziert -.-

01.03.2008, 13:00

riwe

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RE: Schnittgerade einer Ebenenschar - allgemein
wird nicht viel zu kompliziert,
subtrahiere die beiden "allgemeinen" gleichungen und du hast
$\begin{eqnarray*} y+2z+2=0 \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} z = -t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.03.2008, 18:07

Lolarennt

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Kann man nicht einfach die Ebene k mit der Ebene k+1 schneiden und da müsste dann die Gerade rauskommen

LGS wäre dann

x y z
1. 1 k-2 2k+1 5-2k
2. 1 k-1 2k+3 3-2k

Das dann mit einem Parameter füttern und auflösen.

01.03.2008, 19:07

riwe

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RE: Schnittgerade einer Ebenenschar - allgemein
das wäre dann

$\begin{eqnarray*} x+(k_1-2)y+(2k_1+1)z=5-2k_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+(k_2-2)y+(2k_2+1)z=5-2k_2 \end{eqnarray*}$

und das subtrahierst du nun unglücklich

01.03.2008, 21:38

Lolarennt

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Und dann noch die Bedingung dass k2 = k1 + 1 ist.
so würde es sich ja alles aufheben. stell dich mal nicht so dumm werner unglücklich

01.03.2008, 22:50

riwe

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Zitat:

Original von Lolarennt
Und dann noch die Bedingung dass k2 = k1 + 1 ist.
so würde es sich ja alles aufheben. stell dich mal nicht so dumm werner unglücklich

auch wenn DU zu dumm zum subtrahieren bist, solltest du nicht mich beschimpfen, aber wenn du halt zu dumm zum subtrahieren bist..... geschockt

in meiner langmut mit eselInnen, die nicht subtrahieren können:

die beiden gleichungen voneinander abgezogen ergeben:

$\begin{eqnarray*} (k_1-k_2)y+2(k_1-k_2)z=-2(k_1-k_2) \end{eqnarray*}$

und laut voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} k_1\neq k_2 \end{eqnarray*}$

11.03.2008, 23:39

Lolarennt

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Und wie rechnet man dann weiter?

Bzw. wie komm ich auf die Schnittgerade, die unabhängig von k ist?

01.04.2008, 13:24

marjan

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Wüsste ich auch gerne

ich kriege die variablen nicht weg

ach hab n fehler gemacht und haben sich deswegen nicht weggekürzt.

Lolarennt:
du teilst durch (k1-k2), dann formst du nach y oder z um...das setzt du dann in die erste gleichung ein und bekommst x raus

01.04.2008, 13:42

klarsoweit

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Heidinei.

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} (k_1-k_2)y+2(k_1-k_2)z=-2(k_1-k_2) \end{eqnarray*}$

Dividiere das durch (k_1 - k_2).

01.04.2008, 22:48

Lolarennt

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Okay,

Ich komme auf die Y und Z Koordinaten, aber wie setzte ich die Koordinaten dann oben in die ursprüngliche Gleichung mit all den k drinne. Spielen die da noch ne Rolle

$\begin{eqnarray*} z = -t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= 2t-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+(k-2)y+(2k+1)z=5-2k \end{eqnarray*}$

und dann nach x auflösen und soll dann

$\begin{eqnarray*} x = 5 + t \end{eqnarray*}$

rauskommen?

02.04.2008, 11:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lolarennt
$\begin{eqnarray*} x+(k-2)y+(2k+1)z=5-2k \end{eqnarray*}$

Da die Gerade in allen Ebenen enthalten ist, kannst du hier einfach k=0 setzen und die Werte für y und z einsetzen und das dann nach x auflösen.

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