Beweis: Seitenhalbierende orthogonal

01.03.2008, 15:00

JuliusSpringer

Beweis: Seitenhalbierende orthogonal

Hallohallo,

ich rechne grade an einer Aufgabe, die hier wahrscheinlich schon behandelt wurde,
leider habe ich keine Lösung dazu gefunden.

Beweise:
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Seitenhalbierenden der Grundseite und die Grundseite zueinander orthogonal.

Ich habe bereits ein bisschen gerechnet:

Bweisen muss man das:
$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{-b} + \vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \vec{-b} + \vec{a} ) \cdot \vec{CM} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{CM} = (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \vec{-b} + \vec{a} ) \cdot (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b} ) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \vec{-b} + \vec{a} ) \cdot (\frac{1}{2}(\vec{-b} + \vec{a}) - \vec{b} ) = 0 \end{eqnarray*}$

01.03.2008, 15:16

Bjoern1982

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Von der Idee her gar nicht so schlecht - nur musst du auf die Orientierungen der Vektoren a, b und c aufpassen sonst kommt es am Ende nicht hin.

Mache mal in der Skizze deutlich wohin die Vektoren jeweils zeigen.

Gruß Björn

01.03.2008, 15:36

JuliusSpringer

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Okay, die Orientierung von CM Stimmt nicht, müsste so sein
$\begin{eqnarray*} \vec{CM} = 0,5 \vec{c} - \vec{a} \end{eqnarray*}$ sein

Dann wenn ich weiter runter rechne komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}- \vec{b}) \cdot 0,5(- \vec{b} - \vec{a}) =0 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Bedingung, dass sie gleichlang sind, also die Beträge sind gleich, kann ich ja nicht einfach b mit a ersetzten oder?

01.03.2008, 15:41

Bjoern1982

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Zitat:

Okay, die Orientierung von CM Stimmt nicht, müsste so sein
$\begin{eqnarray*} \vec{CM} = 0,5 \vec{c} - \vec{a} \end{eqnarray*}$ sein

Nein, das stimmt auch nicht - du willst doch vom Punkt C zu M gelangen.
Da gehst du doch erst von C nach B und dann von B nach M.

01.03.2008, 15:42

riwe

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Zitat:

Original von JuliusSpringer
Okay, die Orientierung von CM Stimmt nicht, müsste so sein
$\begin{eqnarray*} \vec{CM} = 0,5 \vec{c} - \vec{a} \end{eqnarray*}$ sein

Dann wenn ich weiter runter rechne komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}- \vec{b}) \cdot 0,5(- \vec{b} - \vec{a}) =0 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Bedingung, dass sie gleichlang sind, also die Beträge sind gleich, kann ich ja nicht einfach b mit a ersetzten oder?

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}- \vec{b}) \cdot 0,5(- \vec{b} - \vec{a}) =0 \end{eqnarray*}$

multipliziere es doch aus

$\begin{eqnarray*} -0.5(a²-b²)=? \end{eqnarray*}$
mit deiner begründung von oben Freude

01.03.2008, 15:59

JuliusSpringer

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Sehr schön,

hatte wohl Angst vorm Multiplizieren weil ich die binomische Formel nur mit einem negativen Vorzeichen kenne und nicht mit zwei smile

Vielen Dank!

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