Aufkommende Fragen während Vorbereitung auf Klausur

01.03.2008, 15:37

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufkommende Fragen während Vorbereitung auf Klausur

Hey Leute,

bereite mich gerade auf eine Klausur nächste Woche vor und dabei sind mir bisher folgende Fragen/Probleme aufgekommen:

-----------------------------------------------------------------------------------

1)
Wie bildet man die Stammfunktion zu folgendem Integral?

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~sin^5x*cosx~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist, dass man versucht, dass Ausgangsintegral wieder herzustellen, aber wie mache ich das? Mein Problem - denke ich - ist die hoch 5.

-----------------------------------------------------------------------------------

2)
Wie bildet man die Stammfunktion von:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz sieht so aus:

Substitution: x^2=sinz

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=cosz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx= cosz*dz \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{sinz}}{cosz}*cosz dz~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{sinz}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(sinz)^{\frac{1}{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Und wie muss ich nun weiter vorgehen? Nochmals substituieren? Oder habe ich schon einen Fehler gemacht? unglücklich

unglücklich

-----------------------------------------------------------------------------------

3) Wir haben von $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$ im Unterricht die Stammfunktion gebildet.
Durch den trigonometrischen Pythagoras und durch eine Substitution von x=sinz ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{cosz}*cosz*dz~dx \end{eqnarray*}$
Nun meine Frage:
Meine Substitution habe ich im Unterricht folgendermaßen durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} x=sinz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} = cosz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = cos + dz \end{eqnarray*}$

Warum haben wir damals $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} \end{eqnarray*}$ geschrieben und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ ? Wovon hängt das ab?

-----------------------------------------------------------------------------------

Wäre super, wenn mir jemand helfen kann Freude

Freude

Vielen Dank Gott

Gott

02.03.2008, 01:04

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufkommende Fragen während Vorbereitung auf Klausur

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
1)
Wie bildet man die Stammfunktion zu folgendem Integral?

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~sin^5x*cosx~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist, dass man versucht, dass Ausgangsintegral wieder herzustellen, aber wie mache ich das? Mein Problem - denke ich - ist die hoch 5.

Du kannst das mit der Produktregel lösen, oder mit Kenntnis der Kettenregel folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin^n(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x) \cdot n \cdot sin^{n-1}(x)\cdot \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
2)
Wie bildet man die Stammfunktion von:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz sieht so aus:

Substitution: x^2=sinz

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=cosz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx= cosz*dz \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{sinz}}{cosz}*cosz dz~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{sinz}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(sinz)^{\frac{1}{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Und wie muss ich nun weiter vorgehen? Nochmals substituieren? Oder habe ich schon einen Fehler gemacht?

Überlege mal, wenn Substitution:

$\begin{eqnarray*} x^2=sinz \end{eqnarray*}$

Was ist dann x = ?
Wenn Du das hast, bilde die Ableitung, also

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}= ? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
3) Wir haben von $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$ im Unterricht die Stammfunktion gebildet.
Durch den trigonometrischen Pythagoras und durch eine Substitution von x=sinz ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{cosz}*cosz*dz~dx \end{eqnarray*}$
Nun meine Frage:
Meine Substitution habe ich im Unterricht folgendermaßen durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} x=sinz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} = cosz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = cos + dz \end{eqnarray*}$

Warum haben wir damals $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} \end{eqnarray*}$ geschrieben und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ ? Wovon hängt das ab?

$\begin{eqnarray*} x=sinz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} = cosz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = cos \cdot dz \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} dx = cos + dz \end{eqnarray*}$

02.03.2008, 01:14

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Gut dann fangen wir mal an:

zu 1)

Kannst du durch einmalige partielle Integration ruhig so machen wie du es vorgeschlagen hast. Wähle u=(sin(x))^5 und v' = cos(x)
Dann sollte es keine Probleme geben.

Schneller geht es mit einfacher Substitution sin(x)=z

zu 2)

Du kannst durchaus so ansetzen wie du angefangen hast.
Nach der Substitution x²=sin(z) machst du aber einen entscheidenen Fehler, denn um dx/dz, also die 1. Ableitung nach z bilden zu können muss das x auch "allein" stehen - ohne Quadrat. Also musst du zuerst die Wurzel ziehen und dann $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{sin(z)} \end{eqnarray*}$ nach z ableiten.

Im Tafelwerk steht übrigens auch immer, was eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ ist, nämlich F(x)=arcsin(x)

Damit würdest du durch die Substitution z=x² auch noch schneller zum Ziel kommen.

zu 3)

Zitat:

Warum haben wir damals $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} \end{eqnarray*}$ geschrieben und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ ? Wovon hängt das ab?

Das hängt davon ab ob du z nach x oder x nach z ableiten willst, also ob du z= g(x) oder x= g(z) substituierst.

Dein Integral in Aufgabe 1 könntest du auch mit der Substitution z=sin(x) lösen.
Da hier z "allein" steht ist hier der Ansatz dz/dx = cos(x) <=> dz = cos(x) dx sinnvoll.
Um dx/dz bilden zu können muss man z=sin(x) erstmal nach x umstellen.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

02.03.2008, 14:31

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für eure Antworten smile

smile

Gott

Werde mir das mal anschauen....

Bin gerade schon wieder am rechnen und frage ich ob folgendes richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(x+a)*e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

Ansatz: partielle Integration!

also folgt:

$\begin{eqnarray*} -e^{-x}(x+a)+ \int_{}^{}~e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-x}(x+a)-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-x}(x+a+1) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Vielen Dank nochmals Freude

Freude

02.03.2008, 14:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt Freude

Freude

03.03.2008, 23:13

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1+lnx}{x} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert gegen Null ist -unendlich, jedoch, wenn ich l'Hopital anwende, kommt +unendlich raus verwirrt

verwirrt

Kann ich hier überhaupt de l'Hopital anwenden?

Weil für x -> 0 steht da ja -unendlich/unendlich!

Bei unendlich/unendlich ist es mir klar, aber so!? verwirrt

verwirrt

Danke

Anzeige

03.03.2008, 23:59

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Kann ich hier überhaupt de l'Hopital anwenden?

Nein.

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Weil für x -> 0 steht da ja -unendlich/unendlich!

Nein, das steht nicht da - sondern

-unendlich / 0 .

04.03.2008, 16:37

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Kann ich hier überhaupt de l'Hopital anwenden?

Nein.

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Weil für x -> 0 steht da ja -unendlich/unendlich!

Nein, das steht nicht da - sondern

-unendlich / 0 .

Ja, aber durch 0 darf ich ja nicht teilen und deswegen bilde ich ja den Grenzwert gegen Null und für eine kleine Zahl > 0 geht der Term doch gegen unendlich!? unglücklich

unglücklich

04.03.2008, 16:40

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt drauf an "was für eine Null" das ist. Hier wäre eine Unterscheidung des rechtsseitigen und linksseitgen Grenzwertes hilfreich.
EDIT: Du merkst dann, dass ein linksseitiger nicht möglich ist, bildest den von rechts und weißt, dass das x im Nenner infinitesimal klein wird, aber dennoch positiv ist. Im Bruch steht dann -/+ = -

04.03.2008, 16:46

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Das kommt drauf an "was für eine Null" das ist. Hier wäre eine Unterscheidung des rechtsseitigen und linksseitgen Grenzwertes hilfreich.
EDIT: Du merkst dann, dass ein linksseitiger nicht möglich ist, bildest den von rechts und weißt, dass das x im Nenner infinitesimal klein wird, aber dennoch positiv ist. Im Bruch steht dann -/+ = -

Okay, dass heißt, dass wenn ich einen Term habe mit -unendlich/+unendlich, dann kann ich sagen, dass der Grenzwert gegen -unendlich geht ohne den Satz von l'Hopital anzuwenden?

04.03.2008, 16:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Ja, aber durch 0 darf ich ja nicht teilen und deswegen bilde ich ja den Grenzwert gegen Null und für eine kleine Zahl > 0 geht der Term doch gegen unendlich!? unglücklich

unglücklich

Der rechtsseitige Grenzwert deines Quotienten bei Null ist nicht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ - links der Null ist dein Term gar nicht definiert und somit eine Grenzwertbetrachtung sinnlos.

Und wieso "aber"? Meine Antwort bezog sich ausschließlich auf die Anwendbarkeit von L'Hospital. Und die ist hier definitiv zu verneinen, ohne wenn und aber.

04.03.2008, 17:32

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Ja, aber durch 0 darf ich ja nicht teilen und deswegen bilde ich ja den Grenzwert gegen Null und für eine kleine Zahl > 0 geht der Term doch gegen unendlich!? unglücklich

unglücklich

Der rechtsseitige Grenzwert deines Quotienten bei Null ist nicht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ - links der Null ist dein Term gar nicht definiert und somit eine Grenzwertbetrachtung sinnlos.

Und wieso "aber"? Meine Antwort bezog sich ausschließlich auf die Anwendbarkeit von L'Hospital. Und die ist hier definitiv zu verneinen, ohne wenn und aber.

Ja das ist doch klar, aber meine Frage ist doch folgende:

Zitat:

Okay, dass heißt, dass wenn ich einen Term habe mit -unendlich/+unendlich, dann kann ich sagen, dass der Grenzwert gegen -unendlich geht ohne den Satz von l'Hopital anzuwenden?

Danke

Augenzwinkern

04.03.2008, 17:44

Chrisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Okay, dass heißt, dass wenn ich einen Term habe mit -unendlich/+unendlich, dann kann ich sagen, dass der Grenzwert gegen -unendlich geht ohne den Satz von l'Hopital anzuwenden?

Soviel ich weiß, heißt es das! Denn -/+ = -

Ich verwende die Regel von De L'Hopital bei unbestimmten Ausdrücken wie z. B. 0/0, unendl./unendl., 0^0, unendl.^0 etc.

04.03.2008, 18:41

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weitere Frage ist mir aufgekommen:

Ich wiederhole gerade nochmal den Umgang mit Extremalproblem-Aufgaben und wollte mich nochmal versichern:

Wenn ich eine Hauptbedingung habe, dann stelle ich dementsprechend eine Nebenbedingung so auf, dass diese alle Variablen der Hauptbedingung (außer x) "abdeckt". Ist das richtig?

Beispiel:

Hauptbedingung:
A = x*y soll maximal sein

um dann die Zielfunktion in Abhängigkeit von x aufzustellen brauche ich eine Nebenbedingung, die mir etwas über y aussagt, also:

Nebenbedingung:
y=f(x)

Vielen Dank! Freude

Freude

04.03.2008, 19:18

Chrisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Si!

Beschreibe zunächst die den Sachverhalt kennzeichnenden Zusammenhänge mittels der Zielfunktion (Hauptbedingung), in der als abhängige Variable, diejenige Größe auftritt, deren Wert maximal sein soll.

Kommen in eben dieser Zielfunktion mehrere unabhängige Variablen vor, so musst Du durch Verwendung einer (oder mehrerer Nebenbedingungen) versuchen, deren Anzahl bis auf eine Variable zu reduzieren.

Dann weiter wie gehabt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2008, 19:23

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chrisky
Si!

Beschreibe zunächst die den Sachverhalt kennzeichnenden Zusammenhänge mittels der Zielfunktion (Hauptbedingung), in der als abhängige Variable, diejenige Größe auftritt, deren Wert maximal sein soll.

Kommen in eben dieser Zielfunktion mehrere unabhängige Variablen vor, so musst Du durch Verwendung einer (oder mehrerer Nebenbedingungen) versuchen, deren Anzahl bis auf eine Variable zu reduzieren.

Dann weiter wie gehabt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Super, vielen Dank für die tolle Erklärung... smile

smile

04.03.2008, 19:29

Chrisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Null Problemo! Viel Glück bei der Klausur!

Freude

Freude

Chrisky drückt beide Daumen Freude

Freude

Übrigens: Kannst mal hierein schauen [WS] Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen!

04.03.2008, 19:36

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chrisky
Null Problemo! Viel Glück bei der Klausur!

Freude

Freude

Chrisky drückt beide Daumen Freude

Freude

Übrigens: Kannst mal hierein schauen [WS] Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen!

Nochmals vielen Dank Freude

Freude

, die Seiten laufen nebenbei schon durch den Drucker Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2008, 21:12

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

So eine letzte Frage habe ich noch smile

smile

:

Wie integriere ich folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3x^2-5x}{3x-9} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{3x^2}{3x-9}~dx - \int_{}^{}~\frac{5x}{3x-9}~dx \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig/sinnvoll? Und wie mach ich am besten dann weiter?

Vielen Dank!

05.03.2008, 21:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinnvoll wäre erstmal eine Polynomdivision:

(3x^2-5x) : (3x-9)= ...

05.03.2008, 21:51

NatürlicheZahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x+ \frac{4x}{3x-9}~dx \end{eqnarray*}$

Und wie gehts weiter? verwirrt

verwirrt

05.03.2008, 23:57

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es noch etwas weiterführen:

(3x²-5x) : (3x-9)=x + (4/3) + 12/(3x-9)
-(3x²-9x)
-------------
4x
-(4x-12)
-------------
12

Die ersten beiden Summanden sind wohl kein Problem zu integrieren, beim letzten hilft etwas tricksen (Ausklammern) und logarithmische Integration.

Gruß Björn

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »